Номер 33, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, укажите грани, параллельные прямой:

а) $AD$;

б) $AB_1$.

а) Прямая параллельна плоскости (грани), если она не лежит в этой плоскости и параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. В данной задаче мы ищем грани правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, параллельные заданной прямой.

Рассмотрим прямую $AD$. Эта прямая является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, лежащего в основании призмы.

1. В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$. Прямая $BC$ принадлежит боковой грани $BCC_1B_1$. Поскольку прямая $AD$ не лежит в плоскости этой грани, то прямая $AD$ параллельна грани $BCC_1B_1$.

2. Аналогично, большая диагональ $AD$ параллельна стороне $EF$. Прямая $EF$ принадлежит боковой грани $EFF_1E_1$. Следовательно, прямая $AD$ параллельна грани $EFF_1E_1$.

3. В правильной призме основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны. Прямая $AD$ в нижнем основании параллельна соответствующей ей прямой $A_1D_1$ в верхнем основании. Прямая $A_1D_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Так как $AD$ не принадлежит этой плоскости, то $AD$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Ответ: $BCC_1B_1$, $EFF_1E_1$, $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

б) Рассмотрим прямую $AB_1$. Эта прямая является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$.

1. Рассмотрим боковую грань $EDD_1E_1$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Сторона $AB$ противоположна стороне $DE$, но векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$ противоположно направлены. А вот векторы $\vec{AB}$ и $\vec{ED}$ сонаправлены и равны ($\vec{AB} = \vec{ED}$). В правильной призме все боковые ребра параллельны и равны, значит $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{DD_1} = \vec{EE_1}$. Рассмотрим диагонали $AB_1$ и $ED_1$. По правилу сложения векторов: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$ и $\vec{ED_1} = \vec{ED} + \vec{DD_1}$. Так как $\vec{AB} = \vec{ED}$ и $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$, то $\vec{AB_1} = \vec{ED_1}$. Это означает, что прямые $AB_1$ и $ED_1$ параллельны. Прямая $ED_1$ является диагональю грани $EDD_1E_1$ и лежит в ее плоскости. Поскольку прямая $AB_1$ не лежит в плоскости этой грани, она ей параллельна.

2. Рассмотрим боковую грань $FCC_1F_1$. Эта грань является прямоугольником, построенным на диагонали $FC$ основания. Докажем, что прямая $AB_1$ параллельна плоскости этой грани, показав, что у них нет общих точек. Если ввести систему координат с центром в центре нижнего основания, то можно показать, что при подстановке параметрического уравнения прямой $AB_1$ в уравнение плоскости, содержащей грань $FCC_1F_1$, получается неверное равенство. Это означает, что прямая и плоскость не пересекаются, а значит, они параллельны.

Ответ: $EDD_1E_1$, $FCC_1F_1$.