Номер 37, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

37. Сколько пар перпендикулярных ребер имеет:

а) правильный тетраэдр;

б) куб?

а) Правильный тетраэдр — это многогранник, у которого все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Он имеет 6 ребер одинаковой длины и 4 вершины. Пары ребер могут быть либо пересекающимися (имеющими общую вершину), либо скрещивающимися (не пересекающимися и не параллельными).
1. Пересекающиеся ребра. Любые два ребра, выходящие из одной вершины, являются сторонами одной из граней — равностороннего треугольника. Угол между сторонами равностороннего треугольника составляет $60^\circ$. Так как угол не равен $90^\circ$, то никакие два пересекающихся ребра в правильном тетраэдре не являются перпендикулярными.
2. Скрещивающиеся ребра. В тетраэдре существует 3 пары скрещивающихся (противоположных) ребер. Пусть вершины тетраэдра обозначены как $A, B, C, D$. Тогда скрещивающимися парами ребер будут $(AD, BC)$, $(AC, BD)$ и $(AB, CD)$. Докажем, что эти ребра перпендикулярны.
Рассмотрим пару ребер $AD$ и $BC$. Пусть точка $M$ — середина ребра $BC$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AM$ является также и высотой, следовательно, $AM \perp BC$. Аналогично, в равностороннем треугольнике $DBC$ медиана $DM$ также является высотой, откуда следует, что $DM \perp BC$.
Поскольку ребро $BC$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($AM$ и $DM$), лежащим в плоскости $(ADM)$, то ребро $BC$ перпендикулярно всей плоскости $(ADM)$. Ребро $AD$ лежит в плоскости $(ADM)$, следовательно, ребро $BC$ перпендикулярно ребру $AD$.
Аналогичное доказательство можно провести для двух других пар скрещивающихся ребер. Таким образом, все три пары скрещивающихся ребер в правильном тетраэдре перпендикулярны.
Итого, в правильном тетраэдре 0 пар перпендикулярных пересекающихся ребер и 3 пары перпендикулярных скрещивающихся ребер.
Ответ: 3.

б) Куб — это многогранник, у которого все 6 граней являются квадратами. Он имеет 12 ребер. Ребра куба можно разделить на 3 группы по 4 параллельных ребра в каждой, причем ребра из разных групп взаимно перпендикулярны.
Как и в предыдущем случае, рассмотрим пересекающиеся и скрещивающиеся ребра.
1. Пересекающиеся ребра. В каждой из 8 вершин куба сходятся 3 ребра. Эти три ребра попарно перпендикулярны, так как они являются сторонами квадратных граней, сходящихся в этой вершине (угол квадрата равен $90^\circ$). Количество пар ребер в одной вершине равно $C_3^2 = \frac{3 \times 2}{2} = 3$. Поскольку у куба 8 вершин, общее число пар перпендикулярных пересекающихся ребер составляет $8 \times 3 = 24$.
2. Скрещивающиеся ребра. Рассмотрим произвольное ребро куба, например, $e_1$. Оно принадлежит одной из трех групп взаимно перпендикулярных направлений. Остальные 8 ребер принадлежат двум другим направлениям и, следовательно, перпендикулярны ребру $e_1$. Из этих 8 ребер 4 пересекаются с ребром $e_1$ (по два на каждом конце) — эти пары мы уже учли. Оставшиеся 4 ребра являются скрещивающимися с $e_1$ и перпендикулярными ему.
Таким образом, для каждого из 12 ребер существует 4 скрещивающихся ребра, которые ему перпендикулярны. Чтобы найти общее число таких пар, мы умножаем количество ребер на число перпендикулярных скрещивающихся ребер для каждого и делим на 2, чтобы не посчитать каждую пару дважды (пары $(e_1, e_2)$ и $(e_2, e_1)$ — это одна и та же пара):
Число пар перпендикулярных скрещивающихся ребер = $\frac{12 \times 4}{2} = 24$.
Общее число пар перпендикулярных ребер в кубе равно сумме пар перпендикулярных пересекающихся и перпендикулярных скрещивающихся ребер:
Всего = 24 (пересекающиеся) + 24 (скрещивающиеся) = 48.
Ответ: 48.