Номер 42, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

42. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости:

а) $ACC_1$;

б) $ACB_1$.

а) Расстояние от точки B до плоскости ACC₁.

Плоскость ACC₁ является диагональной плоскостью куба ACC₁A₁, проходящей через диагональ AC основания. Рассмотрим основание куба — квадрат ABCD. В этом квадрате диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения буквой O. Таким образом, отрезок BO перпендикулярен отрезку AC.

Так как ребро CC₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD, то и вся плоскость ACC₁, содержащая это ребро, перпендикулярна плоскости основания ABCD. Поскольку отрезок BO лежит в плоскости ABCD и перпендикулярен линии пересечения плоскостей AC, то BO является перпендикуляром ко всей плоскости ACC₁. Следовательно, длина отрезка BO и есть искомое расстояние от точки B до плоскости ACC₁.

Длина диагонали BD грани куба (квадрата со стороной 1) вычисляется по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Точка O является серединой диагонали BD. Значит, $BO = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Расстояние от точки B до плоскости ACB₁.

Для нахождения расстояния воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр с вершинами A, B, C, B₁. Объем этого тетраэдра можно вычислить по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота, опущенная на это основание.

С одной стороны, выберем в качестве основания треугольник ABC, лежащий в основании куба. Этот треугольник является прямоугольным (угол $\angle ABC = 90^\circ$) и равнобедренным, так как AB = BC = 1 (ребра куба). Его площадь равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Высотой тетраэдра, опущенной из вершины B₁ на это основание, является ребро BB₁, которое перпендикулярно плоскости ABC. Длина высоты $h = BB_1 = 1$.

Тогда объем тетраэдра B₁-ABC равен: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$.

С другой стороны, тот же объем можно выразить, выбрав в качестве основания треугольник ACB₁. Искомое расстояние от точки B до плоскости ACB₁ будет высотой тетраэдра B-ACB₁, опущенной из вершины B на это основание. Обозначим это расстояние как $d$.

Найдем площадь треугольника ACB₁. Для этого вычислим длины его сторон, которые являются диагоналями граней единичного куба:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Треугольник ACB₁ является равносторонним со стороной $a = \sqrt{2}$.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.$S_{ACB_1} = \frac{(\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь приравняем два выражения для объема тетраэдра:$V = \frac{1}{3} S_{ACB_1} \cdot d = \frac{1}{6}$.
$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot d = \frac{1}{6}$.
$\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot d = \frac{1}{6}$.

Отсюда находим $d$: $d = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.