Номер 49, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

49. Найдите косинус двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадратное основание, а $S$ – вершина. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что $AB = BC = CD = DA = 1$ и $SA = SB = SC = SD = 1$.
Мы ищем косинус двугранного угла между соседними боковыми гранями, например, между гранями $SAB$ и $SBC$. Эти грани пересекаются по общему ребру $SB$.
Рассмотрим боковую грань $SAB$. Так как все ее стороны $SA$, $AB$ и $SB$ равны 1, то треугольник $SAB$ является равносторонним. Аналогично, грань $SBC$ (со сторонами $SB=BC=SC=1$) также является равносторонним треугольником.
Для нахождения двугранного угла между плоскостями $(SAB)$ и $(SBC)$ построим его линейный угол. Для этого в плоскости $(SAB)$ проведем высоту $AH$ к общему ребру $SB$. Так как $\triangle SAB$ – равносторонний со стороной 1, длина его высоты равна $AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Аналогично, в плоскости $(SBC)$ проведем высоту $CH$ к общему ребру $SB$. Так как $\triangle SBC$ – равносторонний со стороной 1, длина его высоты равна $CH = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку треугольники $SAB$ и $SBC$ равны (по трем сторонам: $SA=SC=1$, $AB=BC=1$, $SB$ – общая), их высоты, проведенные к общей стороне $SB$, придут в одну и ту же точку $H$ на ребре $SB$.
Угол $\angle AHC$ является линейным углом искомого двугранного угла. Найдем косинус этого угла, рассмотрев треугольник $AHC$. Нам известны две его стороны: $AH = CH = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем третью сторону $AC$.
Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании. По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда $AC = \sqrt{2}$.
Теперь применим теорему косинусов для треугольника $AHC$:$AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos(\angle AHC)$
Подставим известные значения:
$(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle AHC)$
$2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\angle AHC)$
$2 = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} \cdot \cos(\angle AHC)$
$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AHC)$
$2 - \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AHC)$
$\frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle AHC)$
$\cos(\angle AHC) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$