Номер 54, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

54. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Выразите вектор $\vec{AD_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AF}$ и $\vec{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AD_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AF}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника). Представим вектор $\vec{AD_1}$ как сумму векторов, идущих по рёбрам и диагоналям призмы.
Вектор $\vec{AD_1}$ можно разложить на две составляющие: движение в плоскости основания из точки $A$ в точку $D$, и затем вертикальное движение из точки $D$ в точку $D_1$. Математически это записывается так:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$
Рассмотрим каждый из векторов-слагаемых:
1. Вектор $\vec{DD_1}$ является боковым ребром правильной призмы. Все боковые рёбра в такой призме параллельны и равны. Следовательно, вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.
$\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$
2. Вектор $\vec{AD}$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$, которое является правильным шестиугольником. Вектор $\vec{AD}$ — это большая диагональ этого шестиугольника. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Центр правильного шестиугольника является серединой его больших диагоналей. Таким образом, точка $O$ — середина отрезка $AD$. Отсюда следует, что вектор $\vec{AD}$ в два раза длиннее вектора $\vec{AO}$ и сонаправлен с ним:
$\vec{AD} = 2\vec{AO}$
Теперь нам нужно выразить вектор $\vec{AO}$ через базисные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$. Для этого воспользуемся правилом сложения векторов, пройдя из точки $A$ в точку $O$ через точку $F$:
$\vec{AO} = \vec{AF} + \vec{FO}$
Поскольку основание призмы — правильный шестиугольник, и все рёбра призмы равны 1, треугольники, образованные центром $O$ и двумя соседними вершинами (например, $\triangle OAB$ и $\triangle OFA$), являются равносторонними со стороной 1. В правильном шестиугольнике вектор, соединяющий вершину с центром (например, $\vec{FO}$), равен вектору, образованному соседней стороной (в данном случае $\vec{AB}$). Геометрически векторы $\vec{FO}$ и $\vec{AB}$ параллельны, их длины равны 1, и они имеют одинаковое направление. Следовательно:
$\vec{FO} = \vec{AB}$
Подставим это равенство в выражение для $\vec{AO}$:
$\vec{AO} = \vec{AF} + \vec{AB}$
Теперь подставим полученное выражение для $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2(\vec{AB} + \vec{AF}) = 2\vec{AB} + 2\vec{AF}$
Наконец, соберём всё вместе в исходной формуле для $\vec{AD_1}$:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = (2\vec{AB} + 2\vec{AF}) + \vec{AA_1}$
Таким образом, искомое разложение вектора имеет вид:
$\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$
Ответ: $\vec{AD_1} = 2\vec{AB} + 2\vec{AF} + \vec{AA_1}$