Номер 56, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

56. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и:

а) $\vec{CC_1}$;

б) $\vec{CD_1}$;

в) $\vec{BC_1}$;

г) $\vec{BD_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Так как куб единичный, длина его ребра равна 1. Координаты вершин куба в этой системе будут следующими:

$A(0,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(1,1,0)$, $D(1,0,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(0,1,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(1,0,1)$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB_1}$, который является одним из множителей во всех подпунктах. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{AB_1} = \{0-0, 1-0, 1-0\} = \{0, 1, 1\}$.

Теперь последовательно найдем скалярные произведения.

а) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{CC_1}$.

Сначала определим координаты вектора $\vec{CC_1}$:

$\vec{CC_1} = \{1-1, 1-1, 1-0\} = \{0, 0, 1\}$.

Теперь вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CC_1} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

б) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{CD_1}$.

Определим координаты вектора $\vec{CD_1}$:

$\vec{CD_1} = \{1-1, 0-1, 1-0\} = \{0, -1, 1\}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 - 1 + 1 = 0$.

Ответ: 0

в) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Определим координаты вектора $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = \{1-0, 1-1, 1-0\} = \{1, 0, 1\}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

г) Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BD_1}$.

Определим координаты вектора $\vec{BD_1}$:

$\vec{BD_1} = \{1-0, 0-1, 1-0\} = \{1, -1, 1\}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BD_1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 - 1 + 1 = 0$.

Ответ: 0