Номер 62, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

62. Докажите, что уравнение $x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 4 = 0$ задает сферу в пространстве. Найдите ее радиус и координаты центра.

Чтобы доказать, что данное уравнение задает сферу, необходимо привести его к каноническому виду уравнения сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус сферы.

Исходное уравнение: $x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 4 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и применим метод выделения полного квадрата.

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + z^2 - 4 = 0$

Для группы с $x$: чтобы получить полный квадрат $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$, нам нужно добавить и вычесть $(4/2)^2 = 2^2 = 4$.

$x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4$

Для группы с $y$: чтобы получить полный квадрат $(y+b)^2 = y^2 + 2by + b^2$, нам нужно добавить и вычесть $(2/2)^2 = 1^2 = 1$.

$y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) - 1 = (y + 1)^2 - 1$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:

$((x - 2)^2 - 4) + ((y + 1)^2 - 1) + z^2 - 4 = 0$

Перенесем все числовые константы в правую часть уравнения:

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 4 + 1 + 4$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 9$

Полученное уравнение является каноническим уравнением сферы. Это доказывает, что исходное уравнение действительно задает сферу в пространстве.

Сравнивая полученное уравнение с эталонным $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, мы можем определить координаты центра и радиус:

Центр сферы имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$. Из уравнения $(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 0)^2 = 9$ следует, что центр находится в точке $(2, -1, 0)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 9$. Следовательно, радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: уравнение задает сферу, так как его можно привести к каноническому виду $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 9$. Центр сферы находится в точке с координатами $(2, -1, 0)$, а ее радиус равен $3$.