Задания, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что высота прямой призмы и длина бокового ребра одинаковы.

Докажите самостоятельно, что пересечение (общая часть) двух выпуклых фигур является выпуклой фигурой.

Докажите, что высота прямой призмы и длина бокового ребра одинаковы.

По определению, прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям ее оснований.

Рассмотрим прямую призму. Пусть плоскости ее оснований — это $ \alpha $ и $ \beta $. Пусть $ AA_1 $ — любое боковое ребро этой призмы, где вершина $ A $ лежит в плоскости $ \alpha $, а вершина $ A_1 $ — в плоскости $ \beta $.

Так как призма прямая, то по определению боковое ребро $ AA_1 $ перпендикулярно плоскости основания $ \alpha $ (а также и плоскости $ \beta $). Это значит, что отрезок $ AA_1 $ является перпендикуляром, проведенным из точки $ A_1 $, принадлежащей плоскости $ \beta $, к плоскости $ \alpha $.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований. Это расстояние измеряется по длине перпендикуляра, опущенного из любой точки одного основания на плоскость другого основания.

Поскольку боковое ребро $ AA_1 $ и является таким перпендикуляром, соединяющим плоскости оснований, его длина по определению равна высоте призмы.

Таким образом, мы доказали, что длина бокового ребра прямой призмы равна ее высоте.

Ответ: Длина бокового ребра прямой призмы равна ее высоте, так как боковое ребро по определению перпендикулярно плоскостям оснований, а высота призмы — это и есть длина перпендикуляра между этими плоскостями.

Докажите самостоятельно, что пересечение (общая часть) двух выпуклых фигур является выпуклой фигурой.

Вспомним определение выпуклой фигуры. Выпуклой фигурой (или выпуклым множеством) называется такая фигура, которая вместе с любыми двумя своими точками содержит и весь соединяющий их отрезок.

Пусть даны две выпуклые фигуры $ F_1 $ и $ F_2 $. Обозначим их пересечение как $ F $, то есть $ F = F_1 \cap F_2 $. Нам нужно доказать, что фигура $ F $ также является выпуклой.

Для доказательства возьмем две произвольные точки $ A $ и $ B $, принадлежащие фигуре $ F $.

По определению пересечения, если точки $ A $ и $ B $ принадлежат $ F $, то они принадлежат и фигуре $ F_1 $, и фигуре $ F_2 $.

1. Рассмотрим фигуру $ F_1 $. Так как $ F_1 $ выпуклая и точки $ A \in F_1 $, $ B \in F_1 $, то по определению выпуклой фигуры весь отрезок $ [AB] $ содержится в $ F_1 $ (то есть $ [AB] \subseteq F_1 $).

2. Рассмотрим фигуру $ F_2 $. Так как $ F_2 $ выпуклая и точки $ A \in F_2 $, $ B \in F_2 $, то по определению выпуклой фигуры весь отрезок $ [AB] $ содержится в $ F_2 $ (то есть $ [AB] \subseteq F_2 $).

Итак, мы установили, что отрезок $ [AB] $ целиком принадлежит как фигуре $ F_1 $, так и фигуре $ F_2 $. Следовательно, он принадлежит и их общей части, то есть пересечению $ F $.

Поскольку мы доказали, что для любых двух точек $ A $ и $ B $ из фигуры $ F $ отрезок $ [AB] $ полностью содержится в $ F $, то по определению фигура $ F $ является выпуклой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Пересечение двух выпуклых фигур является выпуклой фигурой, потому что любой отрезок, соединяющий две точки из области пересечения, по определению выпуклости принадлежит каждой из исходных фигур, а значит, и их пересечению.