Номер 60, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

60. Найдите расстояние от точки $A(1; 2; 3)$ до координатной прямой:

а) $Ox$;

б) $Oy$;

в) $Oz$.

а) Ox;
Расстояние от точки в пространстве до координатной оси — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось. Для точки $A(x_A; y_A; z_A)$ и оси абсцисс (Ox) основанием перпендикуляра будет точка $P_x$ с координатами $(x_A; 0; 0)$.
В нашем случае, дана точка $A(1; 2; 3)$. Её проекция на ось Ox — это точка $P_x(1; 0; 0)$.
Расстояние между точками $A(1; 2; 3)$ и $P_x(1; 0; 0)$ находится по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.
Подставим координаты точек A и $P_x$: $d(A, Ox) = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 4 + 9} = \sqrt{13}$.
В общем виде, расстояние от точки $(x; y; z)$ до оси Ox равно $\sqrt{y^2 + z^2}$.
Ответ: $\sqrt{13}$.

б) Oy;
Аналогично, для нахождения расстояния от точки $A(1; 2; 3)$ до оси ординат (Oy), найдем её проекцию на эту ось. Проекцией будет точка $P_y(0; 2; 0)$.
Теперь вычислим расстояние между точками $A(1; 2; 3)$ и $P_y(0; 2; 0)$:
$d(A, Oy) = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10}$.
В общем виде, расстояние от точки $(x; y; z)$ до оси Oy равно $\sqrt{x^2 + z^2}$.
Ответ: $\sqrt{10}$.

в) Oz.
Для нахождения расстояния от точки $A(1; 2; 3)$ до оси аппликат (Oz), найдем её проекцию на эту ось. Проекцией будет точка $P_z(0; 0; 3)$.
Вычислим расстояние между точками $A(1; 2; 3)$ и $P_z(0; 0; 3)$:
$d(A, Oz) = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$.
В общем виде, расстояние от точки $(x; y; z)$ до оси Oz равно $\sqrt{x^2 + y^2}$.
Ответ: $\sqrt{5}$.