Номер 53, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

53. В кубе ABCD $A_1B_1C_1D_1$ выразите вектор $\overrightarrow{AC_1}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AC_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, представим вектор $\vec{AC_1}$ как сумму векторов по правилу многоугольника. Вектор $\vec{AC_1}$ является главной диагональю куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Мы можем попасть из точки A в точку $C_1$, двигаясь сначала по диагонали нижнего основания из A в C, а затем по боковому ребру из C в $C_1$. Согласно правилу треугольника для сложения векторов, имеем:

$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

Теперь необходимо выразить векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ через заданные в условии векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании куба. По правилу параллелограмма (которое для векторов, выходящих из одной точки, совпадает с правилом треугольника), вектор диагонали равен сумме векторов, построенных на сторонах, выходящих из той же вершины:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его грань $ABCD$ является квадратом, а значит, и параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на них, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Заменяем $\vec{BC}$ на $\vec{AD}$ в выражении для $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. Вектор $\vec{CC_1}$ соответствует боковому ребру куба. Все боковые ребра куба параллельны и равны по длине, поэтому вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$:

$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$

3. Теперь подставим полученные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ в исходное равенство для $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC_1} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \vec{AA_1}$

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Этот результат также известен как правило параллелепипеда: вектор, проведенный по главной диагонали параллелепипеда, равен сумме трех некомпланарных векторов, проведенных по его ребрам из той же вершины.

Ответ: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$