Номер 48, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

48. Найдите косинус двугранного угла, образованного гранями правильного тетраэдра.

Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Пусть сторона правильного тетраэдра $DABC$ равна $a$. Все ребра тетраэдра равны $a$.

Двугранный угол между гранями — это угол между двумя плоскостями. Чтобы найти его, нужно построить линейный угол, который его измеряет. Рассмотрим двугранный угол, образованный гранями $ABC$ и $DBC$. Эти две плоскости пересекаются по прямой (ребру) $BC$.

Для построения линейного угла проведем в каждой из граней перпендикуляр к общему ребру $BC$ из одной и той же точки.

1. В грани $ABC$, которая является равносторонним треугольником, проведем высоту (она же медиана и биссектриса) $AM$ к стороне $BC$. Точка $M$ будет серединой отрезка $BC$, и по определению высоты $AM \perp BC$.

2. В грани $DBC$, которая также является равносторонним треугольником, проведем высоту $DM$ к стороне $BC$. Так как $M$ — середина $BC$, $DM$ является высотой, и $DM \perp BC$.

Угол $\angle AMD$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $DBC$. Обозначим этот угол как $\alpha$. Найдем косинус этого угла.

Рассмотрим треугольник $AMD$. Чтобы найти косинус угла $\alpha$, воспользуемся теоремой косинусов. Для этого нам нужно знать длины всех трех сторон треугольника $AMD$: $AM$, $DM$ и $AD$.

- $AD$ — это ребро тетраэдра, поэтому его длина равна $a$.

- $AM$ и $DM$ — это высоты в равносторонних треугольниках $ABC$ и $DBC$ со стороной $a$. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \text{сторона}$.Следовательно, $AM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $AMD$:$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения длин сторон:$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$

Упростим выражение:$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \neq 0$):$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Теперь выразим $\cos(\alpha)$:$\frac{3}{2} \cdot \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1$$\frac{3}{2} \cdot \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$$\cos(\alpha) = \frac{1}{3}$

Таким образом, косинус двугранного угла правильного тетраэдра равен $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$