Номер 47, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

47. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостями:

а) $ABB_1$ и $BCC_1$;

б) $ABB_1$ и $ACC_1$;

в) $ACC_1$ и $CDD_1$;

г) $ACC_1$ и $BEE_1$.

В данной задаче рассматривается правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основание призмы — правильный шестиугольник со стороной 1, а высота призмы также равна 1. Призма является прямой, то есть ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Плоскости $ABB_1$ (соответствует грани $ABB_1A_1$) и $BCC_1$ (соответствует грани $BCC_1B_1$) — это смежные боковые грани призмы. Их общая линия пересечения — боковое ребро $BB_1$.

Так как призма правильная, она является прямой, и ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.

Из этого следует, что $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $B$.

В плоскости $ABB_1$ находится ребро основания $AB$. Так как $AB$ лежит в плоскости основания, то $AB \perp BB_1$.

Аналогично, в плоскости $BCC_1$ находится ребро основания $BC$, и $BC \perp BB_1$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно их линии пересечения из одной точки. В нашем случае это угол между отрезками $AB$ и $BC$, то есть угол $\angle ABC$.

Угол $\angle ABC$ является внутренним углом правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного n-угольника находится по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для шестиугольника, где $n=6$:

$\angle ABC = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

Плоскость $ABB_1$ — это боковая грань призмы, а плоскость $ACC_1$ (которая совпадает с плоскостью $ACC_1A_1$) — это диагональное сечение. Эти плоскости пересекаются по боковому ребру $AA_1$.

Поскольку призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, $AA_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$.

В плоскости $ABB_1$ лежит ребро $AB$, и $AB \perp AA_1$.

В плоскости $ACC_1$ лежит диагональ основания $AC$, и $AC \perp AA_1$.

Таким образом, искомый угол между плоскостями равен углу между прямыми $AB$ и $AC$, то есть углу $\angle BAC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ в основании призмы. Основание — правильный шестиугольник со стороной 1, поэтому $AB = BC = 1$. Угол $\angle ABC$ как внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

Плоскость $ACC_1$ — диагональное сечение, а плоскость $CDD_1$ — боковая грань. Линия их пересечения — боковое ребро $CC_1$.

Так как призма прямая, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.

В плоскости $ACC_1$ лежит диагональ $AC$, и $AC \perp CC_1$.

В плоскости $CDD_1$ лежит ребро $CD$, и $CD \perp CC_1$.

Угол между плоскостями равен углу между прямыми $AC$ и $CD$, то есть $\angle ACD$.

Угол $\angle BCD$ — это внутренний угол правильного шестиугольника, он равен $120^\circ$. Угол $\angle ACD$ является частью этого угла. Чтобы найти его, нужно из $\angle BCD$ вычесть $\angle BCA$.

Из решения пункта б) известно, что $\angle BCA = 30^\circ$.

Тогда $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Плоскости $ACC_1$ и $BEE_1$ являются диагональными сечениями призмы. Так как оба сечения содержат боковые ребра и перпендикулярны плоскости основания, угол между ними равен углу между их следами на плоскости основания. След плоскости $ACC_1$ — это малая диагональ $AC$, а след плоскости $BEE_1$ — большая диагональ $BE$.

Задача сводится к нахождению угла между диагоналями $AC$ и $BE$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Воспользуемся координатным методом.

Поместим центр шестиугольника $O$ в начало координат $(0,0)$. Сторона шестиугольника и радиус описанной окружности равны 1. Расположим вершины в плоскости $xy$:

$A(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ)) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

$B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ)) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

$C(\cos(0^\circ), \sin(0^\circ)) = (1, 0)$

$E(\cos(-120^\circ), \sin(-120^\circ)) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем направляющие векторы для прямых $AC$ и $BE$.

Для прямой $AC$: вектор $\vec{u} = \vec{AC} = C - A = (1 - (-\frac{1}{2}), 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для прямой $BE$: вектор $\vec{v} = \vec{BE} = E - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = (-1, -\sqrt{3})$.

Найдем угол между векторами через их скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\frac{3}{2}) \cdot (-1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $AC$ и $BE$ также перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

Таким образом, угол между плоскостями $ACC_1$ и $BEE_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.