Номер 44, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

44. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние между плоскостями:

а) $ABB_1$ и $DEE_1$;

б) $ACC_1$ и $FDD_1$.

В данной задаче рассматривается правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) равна $a=1$, и высота призмы (длина боковых ребер, например, $AA_1$) равна $h=1$.

а) Найдите расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $DEE_1$.

Плоскость $ABB_1$ совпадает с боковой гранью $ABB_1A_1$. Плоскость $DEE_1$ совпадает с боковой гранью $DEE_1D_1$.
В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Стороны $AB$ и $DE$ являются противолежащими сторонами этого шестиугольника, следовательно, они параллельны ($AB \parallel DE$).
Боковые ребра призмы параллельны друг другу, поэтому $AA_1 \parallel DD_1$.
Поскольку две пересекающиеся прямые ($AB$ и $AA_1$) в плоскости $ABB_1A_1$ параллельны двум пересекающимся прямым ($DE$ и $DD_1$) в плоскости $DEE_1D_1$, эти плоскости параллельны.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между любыми точками этих плоскостей, например, равно длине перпендикуляра, опущенного из одной плоскости на другую. Так как плоскости $ABB_1A_1$ и $DEE_1D_1$ перпендикулярны плоскости основания, искомое расстояние равно расстоянию между прямыми $AB$ и $DE$ в плоскости основания.
Расстояние между противолежащими сторонами правильного шестиугольника со стороной $a$ равно удвоенному апофему (радиусу вписанной окружности). Апофема $r$ правильного шестиугольника вычисляется по формуле:$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
При $a=1$, апофема равна $r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, расстояние между плоскостями равно $d = 2r = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) Найдите расстояние между плоскостями $ACC_1$ и $FDD_1$.

Плоскость $ACC_1$ проходит через точки $A, C, C_1$ и является диагональной плоскостью $ACC_1A_1$. Плоскость $FDD_1$ проходит через точки $F, D, D_1$ и является диагональной плоскостью $FDD_1F_1$.
Рассмотрим четырехугольник $ACDF$ в плоскости основания. Его диагонали $AD$ и $CF$ являются большими диагоналями правильного шестиугольника. Они обе проходят через центр шестиугольника $O$ и равны по длине $2a=2$. Так как диагонали четырехугольника $ACDF$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то $ACDF$ — параллелограмм. Из этого следует, что $AC \parallel FD$.
Так как $AC \parallel FD$ и боковые ребра $AA_1 \parallel DD_1$ (и $AA_1 \parallel FF_1$), то плоскости $ACC_1A_1$ и $FDD_1F_1$ параллельны.
Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между параллельными прямыми $AC$ и $FD$ в плоскости основания.
Найдем это расстояние. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Расстояние от центра $O$ до прямой $AC$ и до прямой $FD$ одинаково в силу симметрии. Прямые $AC$ и $FD$ лежат по разные стороны от центра, поэтому искомое расстояние между ними будет равно сумме расстояний от центра до каждой из этих прямых.
Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Он равнобедренный, так как $OA=OC=1$ (радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне). Угол между смежными радиусами $\angle AOB = \angle BOC = 60^\circ$, поэтому $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 120^\circ$.
Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Тогда $OM$ является высотой и медианой в треугольнике $\triangle OAC$, и $OM \perp AC$. Длина $OM$ — это и есть расстояние от центра $O$ до прямой $AC$.
По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OMA$ (где $\angle OMA = 90^\circ$): $OM^2 = OA^2 - AM^2$.
Сначала найдем длину $AC$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$, где $\angle ABC=120^\circ$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
Значит, $AC = \sqrt{3}$. Тогда $AM = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь находим $OM$:$OM^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$OM = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Расстояние от центра $O$ до прямой $AC$ равно $1/2$. Аналогично, расстояние от $O$ до прямой $FD$ равно $1/2$.
Искомое расстояние между параллельными прямыми $AC$ и $FD$ равно $d = d(O, AC) + d(O, FD) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$