Номер 38, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми:

а) $AB_1$ и $BC_1$;

б) $AC$ и $BD_1$;

в) $AB_1$ и $CD_1$.

а) $AB_1$ и $BC_1$
Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую. Прямые $AB_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $BCC_1B_1$ параллельна грани $ADD_1A_1$. Следовательно, диагональ $BC_1$ параллельна диагонали $AD_1$.
Таким образом, искомый угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $AD_1$, то есть углу $\angle B_1AD_1$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D_1$. Пусть ребро куба равно $a$.
1. Сторона $AB_1$ является диагональю грани-квадрата $ABB_1A_1$. Ее длина равна $AB_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
2. Сторона $AD_1$ является диагональю грани-квадрата $ADD_1A_1$. Ее длина равна $AD_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
3. Сторона $B_1D_1$ является диагональю грани-квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Ее длина равна $B_1D_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Поскольку все стороны треугольника $\triangle AB_1D_1$ равны ($AB_1 = AD_1 = B_1D_1$), он является равносторонним.
Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Значит, $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

б) $AC$ и $BD_1$
Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$ (ось $x$), $AD$ (ось $y$) и $AA_1$ (ось $z$). Пусть ребро куба равно $a$.
Определим координаты нужных точек: $A(0, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $D_1(0, a, a)$.
Теперь найдем координаты векторов, лежащих на данных прямых:
$\vec{AC} = \{C_x - A_x, C_y - A_y, C_z - A_z\} = \{a-0, a-0, 0-0\} = \{a, a, 0\}$.
$\vec{BD_1} = \{D_{1x} - B_x, D_{1y} - B_y, D_{1z} - B_z\} = \{0-a, a-0, a-0\} = \{-a, a, a\}$.
Косинус угла $\varphi$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами: $\cos \varphi = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD_1}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD_1}|}$.
Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{AC} \cdot \vec{BD_1} = a \cdot (-a) + a \cdot a + 0 \cdot a = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.
Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BD_1$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в) $AB_1$ и $CD_1$
Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, осуществим параллельный перенос одной из прямых.
В кубе грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $BAA_1B_1$. Диагональ $CD_1$ грани $CDD_1C_1$ параллельна диагонали $BA_1$ грани $BAA_1B_1$.
Следовательно, угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $BA_1$.
Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются диагоналями квадрата $ABB_1A_1$.
По свойству квадрата, его диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит, угол между прямыми $AB_1$ и $BA_1$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.