Номер 40, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

40. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой:

a) $A_1 D_1$;

б) $A_1 C_1$.

а) Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Рассмотрим треугольник $BA_1D_1$. В единичном кубе длина ребра равна 1.

Найдем длины сторон этого треугольника:

1. $A_1D_1$ — ребро куба, его длина равна 1.

2. $BA_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AA_1B$, $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. $BD_1$ — пространственная диагональ куба. Её длина $BD_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

Проверим для треугольника $BA_1D_1$ выполнение обратной теоремы Пифагора:

$A_1D_1^2 + BA_1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Поскольку $A_1D_1^2 + BA_1^2 = BD_1^2$, треугольник $BA_1D_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$. Это означает, что катет $BA_1$ перпендикулярен катету $A_1D_1$. Следовательно, длина отрезка $BA_1$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Ответ: $\sqrt{2}$

б) Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ рассмотрим треугольник $BA_1C_1$.

Найдем длины его сторон:

1. $A_1C_1$ — диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Ее длина $A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

2. $BA_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$. Ее длина $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. $BC_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$. Ее длина $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Все три стороны треугольника $BA_1C_1$ равны, значит, он является равносторонним со стороной $a = \sqrt{2}$. Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ равно высоте $h$ этого треугольника.

Высота равностороннего треугольника находится по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение стороны $a = \sqrt{2}$:

$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$