Номер 45, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

45. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1.

Найдите угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Пусть SABCD — данная правильная четырехугольная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит правильный четырехугольник (квадрат) ABCD, а вершина S проецируется в центр этого квадрата. По условию, все ребра пирамиды равны 1. То есть, стороны основания $AB = BC = CD = DA = 1$, и боковые ребра $SA = SB = SC = SD = 1$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. В нашем случае, нам нужно найти угол между прямой (боковым ребром) SB и плоскостью основания ABC.

Найдем проекцию прямой SB на плоскость ABC. Точка B уже лежит в плоскости ABC, поэтому ее проекция — это сама точка B. Пусть O — центр квадрата ABCD, точка пересечения его диагоналей AC и BD. Так как пирамида правильная, высота SO перпендикулярна плоскости основания ABC. Следовательно, точка O является проекцией вершины S на плоскость ABC. Таким образом, проекцией наклонной SB на плоскость ABC является отрезок OB.

Искомый угол — это угол между наклонной SB и ее проекцией OB, то есть угол $\angle SBO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOB$ (угол $\angle SOB = 90^\circ$, так как $SO \perp ABC$, а $OB \subset ABC$).

Найдем длины сторон этого треугольника. Гипотенуза SB является боковым ребром, по условию $SB = 1$. Катет OB является половиной диагонали квадрата ABCD. Найдем длину диагонали BD из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$. По теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда, $BD = \sqrt{2}$. Точка O делит диагональ пополам, поэтому $OB = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь, зная гипотенузу SB и прилежащий катет OB в прямоугольном треугольнике $\triangle SOB$, мы можем найти косинус угла $\angle SBO$: $\cos(\angle SBO) = \frac{OB}{SB} = \frac{\sqrt{2}/2}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$. Следовательно, угол между прямой SB и плоскостью ABC равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.