Номер 51, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

51. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите длину вектора:

a) $\vec{AC_1}$;

б) $\vec{AD_1}$.

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна 1, и высота призмы (длина боковых ребер, например $AA_1$) также равна 1.

Длина вектора равна длине отрезка, соединяющего его начало и конец. Для нахождения длин искомых векторов воспользуемся теоремой Пифагора в пространстве.

а)

Чтобы найти длину вектора $\vec{AC_1}$, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник $ACC_1$. Этот треугольник является прямоугольным, так как боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и диагонали $AC$.

Длина катета $CC_1$ равна длине бокового ребра, то есть $CC_1 = 1$.

Длину катета $AC$ найдем из основания. $AC$ — это малая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB=BC=1$, а угол $\angle ABC$ как внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

Таким образом, $AC = \sqrt{3}$.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $ACC_1$ находим длину гипотенузы $AC_1$, которая и является искомой длиной вектора $\vec{AC_1}$:

$|\vec{AC_1}|^2 = AC^2 + CC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

б)

Чтобы найти длину вектора $\vec{AD_1}$, мы рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Этот треугольник является прямоугольным, так как боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, а значит, и диагонали $AD$.

Длина катета $DD_1$ равна длине бокового ребра, то есть $DD_1 = 1$.

Длину катета $AD$ найдем из основания. $AD$ — это большая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. Так как сторона нашего шестиугольника равна 1, то $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $ADD_1$ находим длину гипотенузы $AD_1$, которая является искомой длиной вектора $\vec{AD_1}$:

$|\vec{AD_1}|^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$|\vec{AD_1}| = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$