Номер 55, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

55. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1.

Найдите угол между векторами $\vec{SA}$ и:

а) $\vec{BC}$;

б) $\vec{EF}$.

В данной задаче рассматривается правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной 1, а все боковые ребра ($SA, SB, SC, SD$) также равны 1. Следовательно, все боковые грани пирамиды ($SAB, SBC, SCD, SDA$) являются равносторонними треугольниками.

Угол между двумя векторами находится с помощью скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$ или с помощью геометрических построений, совмещая начала векторов.

а) Найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.

В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, поэтому стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны. Это означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Следовательно, угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$ равен углу между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AD}$.

Для нахождения угла между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AD}$ необходимо отложить их от одной точки. Рассмотрим векторы $\vec{AS}$ и $\vec{AD}$, которые выходят из точки $A$. Угол между ними — это плоский угол $\angle SAD$ при вершине $A$ в треугольнике $SAD$.

Поскольку все ребра пирамиды равны 1, боковая грань $SAD$ является равносторонним треугольником. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle SAD = 60^\circ$.

Вектор $\vec{SA}$ противоположен вектору $\vec{AS}$ (то есть $\vec{SA} = -\vec{AS}$). Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AD}$ является смежным с углом между векторами $\vec{AS}$ и $\vec{AD}$. Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен:

$\alpha = 180^\circ - \angle SAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

б) Найдем угол $\beta$ между векторами, упомянутыми в пункте б). Судя по всему, имеется ввиду пара векторов, одним из которых является $\vec{SA}$, а вторым - $\vec{EF}$.

В условии задачи на изображении не определены точки E и F. В подобных задачах E и F, как правило, являются серединами некоторых ребер. Будем исходить из наиболее распространенного варианта для такой постановки: E — середина ребра $SA$, а F — середина ребра $SC$.

Рассмотрим треугольник $SAC$. Так как E и F — середины сторон $SA$ и $SC$ соответственно, отрезок $EF$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, вектор $\vec{EF}$ параллелен вектору $\vec{AC}$ и сонаправлен с ним, а его длина в два раза меньше: $\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Поскольку векторы $\vec{EF}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены, угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{EF}$ равен углу между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AC}$.

Для нахождения этого угла рассмотрим векторы $\vec{AS}$ и $\vec{AC}$, выходящие из одной точки $A$. Угол между ними равен $\angle SAC$. Вектор $\vec{SA}$ противоположен вектору $\vec{AS}$, поэтому искомый угол $\beta$ будет равен $180^\circ - \angle SAC$.

Найдем величину угла $\angle SAC$ из треугольника $SAC$ с помощью теоремы косинусов. Нам известны длины всех его сторон: $SA = 1$ (по условию), $SC = 1$ (по условию), а $AC$ — это диагональ квадрата $ABCD$ со стороной 1. По теореме Пифагора, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Применим теорему косинусов для треугольника $SAC$, чтобы найти косинус угла $\angle SAC$:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 - 2 \cdot SA \cdot AC \cdot \cos(\angle SAC)$

Подставим известные значения:

$1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle SAC)$

$1 = 1 + 2 - 2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle SAC)$

$0 = 2 - 2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle SAC)$

$2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle SAC) = 2$

$\cos(\angle SAC) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что $\angle SAC = 45^\circ$.

Тогда искомый угол $\beta$ между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AC}$ (а значит и $\vec{EF}$) равен:

$\beta = 180^\circ - \angle SAC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.