Номер 59, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

59. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, вершина A — начало координат, отрезки $AB$, $AE$, $AA_1$ лежат соответственно на осях абсцисс, ординат, аппликат. Найдите координаты вершин этой призмы.

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1. Согласно условию, введем систему координат:

1. Вершина $A$ — начало координат. Следовательно, ее координаты $A(0, 0, 0)$.

2. Отрезок $AA_1$ лежит на оси аппликат ($Oz$). Так как длина ребра $AA_1$ равна 1, то координаты вершины $A_1$ равны $A_1(0, 0, 1)$. Это означает, что нижнее основание призмы ($ABCDEF$) лежит в плоскости $z=0$, а верхнее основание ($A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) — в плоскости $z=1$.

3. Отрезок $AB$ лежит на оси абсцисс ($Ox$). Так как длина ребра $AB$ равна 1, координаты вершины $B$ равны $B(1, 0, 0)$.

4. Отрезок $AE$ лежит на оси ординат ($Oy$). В правильном шестиугольнике со стороной $s$ малая диагональ (проходящая через одну вершину, как $AE$) имеет длину $s\sqrt{3}$. В нашем случае $s=1$, поэтому длина $AE$ равна $\sqrt{3}$. Следовательно, координаты вершины $E$ равны $E(0, \sqrt{3}, 0)$.

Теперь найдем координаты остальных вершин нижнего основания, лежащих в плоскости $z=0$.

Вершина $F$ является соседней к $A$, поэтому длина стороны $|AF|=1$. Угол между смежными сторонами в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$, то есть $\angle FAB = 120^\circ$. Пусть $F$ имеет координаты $(x, y, 0)$. Вектор $\vec{AB} = (1, 0, 0)$, а вектор $\vec{AF} = (x, y, 0)$.
Их скалярное произведение: $\vec{AF} \cdot \vec{AB} = |\vec{AF}| |\vec{AB}| \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.
С другой стороны, $\vec{AF} \cdot \vec{AB} = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$.
Отсюда получаем $x = -\frac{1}{2}$.
Из условия $|AF|=1$ имеем $x^2 + y^2 = 1$. Подставляя $x$, получаем $(-\frac{1}{2})^2 + y^2 = 1$, что дает $y^2 = \frac{3}{4}$. Так как шестиугольник выпуклый и вершина $E(0, \sqrt{3}, 0)$ имеет положительную ординату, выбираем положительное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, координаты вершины $F(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Центр правильного шестиугольника $O_h$ является серединой его больших диагоналей (например, $BE$, $CF$, $AD$). Найдем координаты центра как середину отрезка $BE$:
$O_h = (\frac{x_B+x_E}{2}, \frac{y_B+y_E}{2}, 0) = (\frac{1+0}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Используя свойство центра, найдем координаты вершин $C$ и $D$:
$C = 2 O_h - F = 2(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) - (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (1, \sqrt{3}, 0) - (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$D = 2 O_h - A = 2(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) - (0, 0, 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания получаются путем прибавления вектора трансляции $\vec{AA_1} = (0, 0, 1)$ к координатам соответствующих вершин нижнего основания.

Ответ:
Координаты вершин нижнего основания:
$A(0, 0, 0)$
$B(1, 0, 0)$
$C(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D(1, \sqrt{3}, 0)$
$E(0, \sqrt{3}, 0)$
$F(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
Координаты вершин верхнего основания:
$A_1(0, 0, 1)$
$B_1(1, 0, 1)$
$C_1(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$D_1(1, \sqrt{3}, 1)$
$E_1(0, \sqrt{3}, 1)$
$F_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$