Номер 58, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

58. Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является вершина $D$, ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат соответственно на осях абсцисс, ординат, аппликат. Найдите координаты всех вершин куба.

По условию задачи, мы имеем единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина каждого ребра куба равна 1. Куб помещен в прямоугольную систему координат, где начало координат находится в вершине $D$, а ребра $DC$, $DA$ и $DD_1$ лежат на осях $Ox$ (абсцисс), $Oy$ (ординат) и $Oz$ (аппликат) соответственно. Найдем координаты всех восьми вершин куба.

Вершина D
По условию, вершина $D$ является началом координат.
Ответ: $D(0, 0, 0)$.

Вершина A
Вершина $A$ лежит на оси ординат ($Oy$) на расстоянии 1 от начала координат. Следовательно, её координата по оси $y$ равна 1, а остальные координаты равны 0.
Ответ: $A(0, 1, 0)$.

Вершина C
Вершина $C$ лежит на оси абсцисс ($Ox$) на расстоянии 1 от начала координат. Следовательно, её координата по оси $x$ равна 1, а остальные координаты равны 0.
Ответ: $C(1, 0, 0)$.

Вершина D₁
Вершина $D_1$ лежит на оси аппликат ($Oz$) на расстоянии 1 от начала координат. Следовательно, её координата по оси $z$ равна 1, а остальные координаты равны 0.
Ответ: $D_1(0, 0, 1)$.

Вершина B
Вершина $B$ принадлежит нижнему основанию куба ($ABCD$) и лежит в плоскости $xy$. Чтобы попасть в точку $B$ из начала координат $D$, нужно сместиться по вектору $\vec{DB}$, который является суммой векторов $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$.
$\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC} = (0, 1, 0) + (1, 0, 0) = (1, 1, 0)$.
Таким образом, координаты вершины $B$ — это $(1, 1, 0)$.
Ответ: $B(1, 1, 0)$.

Вершина A₁
Вершина $A_1$ принадлежит грани $ADD_1A_1$ и лежит в плоскости $yz$. Чтобы попасть в точку $A_1$ из начала координат $D$, нужно сместиться по вектору $\vec{DA_1}$, который является суммой векторов $\vec{DA}$ и $\vec{DD_1}$.
$\vec{DA_1} = \vec{DA} + \vec{DD_1} = (0, 1, 0) + (0, 0, 1) = (0, 1, 1)$.
Таким образом, координаты вершины $A_1$ — это $(0, 1, 1)$.
Ответ: $A_1(0, 1, 1)$.

Вершина C₁
Вершина $C_1$ принадлежит грани $CDD_1C_1$ и лежит в плоскости $xz$. Чтобы попасть в точку $C_1$ из начала координат $D$, нужно сместиться по вектору $\vec{DC_1}$, который является суммой векторов $\vec{DC}$ и $\vec{DD_1}$.
$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{DD_1} = (1, 0, 0) + (0, 0, 1) = (1, 0, 1)$.
Таким образом, координаты вершины $C_1$ — это $(1, 0, 1)$.
Ответ: $C_1(1, 0, 1)$.

Вершина B₁
Вершина $B_1$ является диагонально противоположной вершине $D$. Чтобы попасть в точку $B_1$ из начала координат $D$, нужно сместиться по вектору $\vec{DB_1}$, который является суммой трех векторов, исходящих из вершины $D$ вдоль ребер: $\vec{DA}$, $\vec{DC}$ и $\vec{DD_1}$.
$\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD_1} = (0, 1, 0) + (1, 0, 0) + (0, 0, 1) = (1, 1, 1)$.
Таким образом, координаты вершины $B_1$ — это $(1, 1, 1)$.
Ответ: $B_1(1, 1, 1)$.