Номер 50, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

50. Сколько различных векторов задают ребра параллелепипеда?

Параллелепипед — это трехмерная фигура, у которой 12 ребер. Эти ребра можно сгруппировать по направлениям. В параллелепипеде есть три группы по четыре параллельных и равных по длине ребра.

Векторы считаются равными (или одинаковыми), если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны. Местоположение начальной точки вектора не имеет значения.

Рассмотрим ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины. Они задают три некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) вектора. Обозначим их как $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

1. Первая группа из четырех параллельных ребер задает один и тот же вектор $\vec{a}$. Например, если $\vec{a} = \vec{AB}$, то векторы, соответствующие ребрам $DC$, $A_1B_1$ и $D_1C_1$, также будут равны вектору $\vec{a}$.
2. Вторая группа из четырех параллельных ребер задает вектор $\vec{b}$.
3. Третья группа из четырех параллельных ребер задает вектор $\vec{c}$.

Таким образом, мы уже имеем три различных вектора: $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Однако каждое ребро можно рассматривать как вектор, направленный в противоположную сторону. Для каждого из векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ существует противоположный ему вектор: $-\vec{a}$, $-\vec{b}$ и $-\vec{c}$.

• Вектор $-\vec{a}$ задается теми же четырьмя ребрами первой группы, но с противоположным направлением (например, вектор $\vec{BA}$).
• Вектор $-\vec{b}$ задается ребрами второй группы с противоположным направлением.
• Вектор $-\vec{c}$ задается ребрами третьей группы с противоположным направлением.

Эти три вектора ($-\vec{a}$, $-\vec{b}$, $-\vec{c}$) различны между собой и отличны от первых трех векторов. Таким образом, общее количество различных векторов, которые задают ребра параллелепипеда, равно $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.