Номер 32, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ прямые:
a) $AA_1$ и $BC$;
б) $AC_1$ и $BD$;
в) $AB$ и $B_1 C_1$ скрещиваются.

а) Для доказательства того, что прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Этот признак гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Рассмотрим прямые $AA_1$ и $BC$ в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
1. Прямая $BC$ является стороной основания и, следовательно, целиком лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$.
2. Прямая $AA_1$ является боковым ребром призмы. Так как призма правильная, она является прямой призмой, и её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, прямая $AA_1$ пересекает плоскость основания $(ABC)$ в одной-единственной точке — точке $A$.
3. Точка пересечения $A$ не лежит на прямой $BC$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ точки $A$, $B$ и $C$ являются тремя последовательными вершинами, поэтому они не могут лежать на одной прямой.
Таким образом, все условия признака скрещивающихся прямых выполнены: прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AA_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой $BC$. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются.
Ответ: Прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются, что и требовалось доказать.

б) Для доказательства того, что прямые $AC_1$ и $BD$ скрещиваются, также воспользуемся признаком скрещивающихся прямых.
1. Прямая $BD$ является диагональю основания и целиком лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$.
2. Прямая $AC_1$ — это диагональ призмы. Она соединяет вершину $A$ нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Эта прямая не лежит в плоскости $(ABC)$ (так как точка $C_1$ не лежит в этой плоскости) и не параллельна ей (так как её проекция на эту плоскость — отрезок $AC$ — не является точкой). Следовательно, прямая $AC_1$ пересекает плоскость $(ABC)$ в одной точке. Этой точкой является точка $A$.
3. Точка пересечения $A$ не лежит на прямой $BD$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ вершины $A$, $B$, $D$ не лежат на одной прямой.
Так как прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AC_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, не принадлежащей прямой $BD$, то по признаку скрещивающихся прямых прямые $AC_1$ и $BD$ скрещиваются.
Ответ: Прямые $AC_1$ и $BD$ скрещиваются, что и требовалось доказать.

в) Докажем, что прямые $AB$ и $B_1C_1$ скрещиваются. Две прямые называются скрещивающимися, если они не параллельны и не пересекаются. Это эквивалентно тому, что они не лежат в одной плоскости.
1. Проверим, параллельны ли прямые. Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. В правильной призме верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получается из нижнего $ABCDEF$ параллельным переносом. В частности, отрезок $B_1C_1$ параллелен отрезку $BC$. Таким образом, прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$. Прямые $AB$ и $BC$ являются смежными сторонами правильного шестиугольника и пересекаются под углом $120^\circ$, то есть не параллельны. Так как $B_1C_1 \parallel BC$, а $AB$ не параллельна $BC$, то прямые $AB$ и $B_1C_1$ не параллельны.
2. Проверим, пересекаются ли прямые. Прямая $AB$ целиком находится в плоскости $(ABC)$. Прямая $B_1C_1$ целиком находится в плоскости $(A_1B_1C_1)$. Так как призма имеет ненулевую высоту, плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны и не совпадают. Две прямые, лежащие в двух разных параллельных плоскостях, не могут пересекаться.
Поскольку прямые $AB$ и $B_1C_1$ не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.
Альтернативное доказательство (от противного): Предположим, что прямые $AB$ и $B_1C_1$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Тогда все четыре точки $A$, $B$, $B_1$ и $C_1$ должны лежать в этой плоскости $\alpha$. Точки $A$, $B$ и $B_1$ определяют плоскость боковой грани $ABB_1A_1$. Следовательно, плоскость $\alpha$ должна совпадать с плоскостью $(ABB_1)$. Тогда и точка $C_1$ должна лежать в плоскости $(ABB_1)$. Однако боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ являются разными плоскостями, которые пересекаются по ребру $BB_1$. Точка $C_1$ принадлежит плоскости $(BCC_1)$, но не лежит на прямой $BB_1$, поэтому $C_1$ не может принадлежать плоскости $(ABB_1)$. Мы пришли к противоречию. Значит, исходное предположение неверно, и прямые $AB$ и $B_1C_1$ не лежат в одной плоскости, то есть скрещиваются.
Ответ: Прямые $AB$ и $B_1C_1$ скрещиваются, что и требовалось доказать.