Номер 28, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Как расположены прямые:

а) $AB_1$ и $BC_1$;

б) $AA_1$ и $BD_1$;

в) $AC_1$ и $BD_1$, проходящие через вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$?

а) AB₁ и BC₁ Прямая $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$, а прямая $BC_1$ – диагональю грани $BCC_1B_1$. У этих прямых нет общих точек, так как вершины $A, B_1, B, C_1$ попарно различны. Следовательно, прямые не пересекаются. Чтобы определить, являются ли они параллельными или скрещивающимися, проверим, лежат ли они в одной плоскости. Прямая $AB_1$ целиком лежит в плоскости грани $(ABB_1)$. Прямая $BC_1$ пересекает эту плоскость в точке $B$, которая не принадлежит прямой $AB_1$. Следовательно, прямые $AB_1$ и $BC_1$ не лежат в одной плоскости. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Ответ: скрещивающиеся.

б) AA₁ и BD₁ Прямая $AA_1$ является боковым ребром куба, а прямая $BD_1$ – пространственной диагональю куба. Эти прямые не имеют общих точек и, следовательно, не пересекаются. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $(BDD_1)$, в которой лежит прямая $BD_1$. Прямая $AA_1$ параллельна прямой $DD_1$, которая также лежит в плоскости $(BDD_1)$. По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BDD_1)$. Так как прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BDD_1)$, а прямая $BD_1$ лежит в этой плоскости, и при этом они не пересекаются, то прямые $AA_1$ и $BD_1$ являются скрещивающимися.
Ответ: скрещивающиеся.

в) AC₁ и BD₁ Прямые $AC_1$ и $BD_1$ являются пространственными диагоналями куба. Все пространственные диагонали куба пересекаются в одной точке – его центре. Чтобы это доказать, введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB, AD$ и $AA_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда координаты вершин: $A(0,0,0)$, $C_1(a,a,a)$, $B(a,0,0)$, $D_1(0,a,a)$. Середина отрезка $AC_1$ имеет координаты $M_1 = (\frac{0+a}{2}; \frac{0+a}{2}; \frac{0+a}{2}) = (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{a}{2})$. Середина отрезка $BD_1$ имеет координаты $M_2 = (\frac{a+0}{2}; \frac{0+a}{2}; \frac{0+a}{2}) = (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{a}{2})$. Так как середины отрезков совпадают, эта точка является точкой их пересечения. Следовательно, прямые $AC_1$ и $BD_1$ пересекаются.
Ответ: пересекающиеся.