Номер 31, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Докажите, что для пирамиды $SABCDEF$ прямые $SA$ и: а) $BC$; б) $CD$ скрещиваются.

а) Для доказательства того, что прямые $SA$ и $BC$ скрещиваются, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Согласно этому признаку, две прямые скрещиваются, если одна из них лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой.
1. Рассмотрим плоскость основания пирамиды $(ABCDEF)$. Прямая $BC$ полностью лежит в этой плоскости, так как точки $B$ и $C$ являются вершинами основания.
2. Рассмотрим прямую $SA$. Она является боковым ребром пирамиды. Вершина пирамиды $S$ по определению не лежит в плоскости основания, в то время как точка $A$ принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $SA$ пересекает плоскость основания $(ABCDEF)$ в единственной точке — точке $A$.
3. Теперь необходимо проверить, принадлежит ли точка пересечения $A$ прямой $BC$. Точки $A$, $B$, $C$ — это различные вершины многоугольника $ABCDEF$, лежащего в основании. Для любого невырожденного многоугольника три его вершины не могут лежать на одной прямой. Таким образом, точка $A$ не принадлежит прямой $BC$.
4. Итак, мы установили, что прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABCDEF)$, а прямая $SA$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой $BC$. По признаку скрещивающихся прямых, прямые $SA$ и $BC$ скрещиваются.
Ответ: Доказано, что прямые $SA$ и $BC$ скрещиваются.

б) Доказательство того, что прямые $SA$ и $CD$ скрещиваются, проводится аналогично предыдущему пункту.
1. Прямая $CD$ лежит в плоскости основания пирамиды $(ABCDEF)$, так как точки $C$ и $D$ являются вершинами этого основания.
2. Как было установлено ранее, прямая $SA$ пересекает плоскость основания $(ABCDEF)$ в точке $A$.
3. Проверим, принадлежит ли точка $A$ прямой $CD$. Точки $A$, $C$ и $D$ — это различные вершины основания. Так как основание является невырожденным многоугольником, вершина $A$ не может лежать на прямой, проходящей через две другие вершины $C$ и $D$.
4. Таким образом, прямая $CD$ лежит в плоскости основания, а прямая $SA$ пересекает эту плоскость в точке $A$, не принадлежащей прямой $CD$. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые $SA$ и $CD$ скрещиваются.
Ответ: Доказано, что прямые $SA$ и $CD$ скрещиваются.