Номер 20, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Может ли пирамида иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 ребер?

Для того чтобы определить, может ли пирамида иметь заданное количество ребер, воспользуемся свойством строения пирамиды. У любой пирамиды есть основание — это n-угольник, и боковые грани, сходящиеся в одной вершине.Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник). У этого основания $n$ ребер. От каждой из $n$ вершин основания к вершине пирамиды идет одно боковое ребро. Таким образом, количество боковых ребер также равно $n$.Общее количество ребер пирамиды, обозначим его $Р$, равно сумме ребер основания и боковых ребер:$Р = n + n = 2n$Из этой формулы следует, что общее количество ребер в любой пирамиде всегда является четным числом. Кроме того, поскольку в основании лежит многоугольник, число его сторон $n$ должно быть целым числом, не меньшим 3 (то есть $n \ge 3$). Соответственно, общее число ребер $Р$ должно быть четным числом, не меньшим $2 \times 3 = 6$.Проверим каждый из предложенных вариантов.

а) 9;Число 9 является нечетным. Так как общее количество ребер в пирамиде всегда должно быть четным ($Р = 2n$), то пирамида не может иметь 9 ребер. Попытка найти число сторон в основании $n$ дает нецелое число: $n = 9/2 = 4.5$.Ответ: нет.

б) 10;Число 10 является четным. Проверим, возможно ли подобрать для такого количества ребер основание. Из формулы $Р = 2n$ получаем $10 = 2n$, откуда $n = 5$. Так как $n=5$ является целым числом и $5 \ge 3$, то пирамида с 10 ребрами может существовать. В ее основании будет лежать пятиугольник (5 ребер в основании и 5 боковых ребер).Ответ: да.

в) 12;Число 12 является четным. Найдем соответствующее число сторон в основании $n$ из уравнения $12 = 2n$, откуда $n = 6$. Так как $n=6$ является целым числом и $6 \ge 3$, то пирамида с 12 ребрами может существовать. В ее основании будет лежать шестиугольник (6 ребер в основании и 6 боковых ребер).Ответ: да.

г) 15Число 15 является нечетным. Как было установлено ранее, общее число ребер в любой пирамиде должно быть четным. Следовательно, пирамида не может иметь 15 ребер.Ответ: нет.