Страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сколько прямых проходит через различные пары из:

а) трех;

б) четырех;

в) пяти;

г)* $n$ точек в пространстве, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Для решения этой задачи используется комбинаторный подход. Согласно аксиоме геометрии, через любые две различные точки проходит единственная прямая. Условие, что никакие три точки не лежат на одной прямой, означает, что каждая пара точек определяет уникальную прямую. Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ точек по 2.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по 2 имеет вид:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Применим эту формулу для каждого случая.

а) Для трех точек ($n=3$):

Количество прямых = $C_3^2 = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$.

Ответ: 3.

б) Для четырех точек ($n=4$):

Количество прямых = $C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

Ответ: 6.

в) Для пяти точек ($n=5$):

Количество прямых = $C_5^2 = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Ответ: 10.

г) Для $n$ точек в общем виде:

Количество прямых вычисляется по той же формуле, где $n$ — общее число точек.

Количество прямых = $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$.

2. Сколько плоскостей может проходить через три точки пространства?

3. Сколько плоскостей проходит через различные точки на:

2. Ответ на этот вопрос зависит от взаимного расположения трех точек в пространстве. Существует два возможных случая:

а) Три точки лежат на одной прямой (коллинеарны).
Если все три точки принадлежат одной прямой, то через эту прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Представьте себе ось, вокруг которой вращается плоскость (как страницы в книге, где переплет — это прямая). Каждое положение такой вращающейся плоскости будет содержать данную прямую и, следовательно, все три точки.

б) Три точки не лежат на одной прямой (неколлинеарны).
Это основной случай, который описывается одной из аксиом стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Эти три точки однозначно определяют положение единственной плоскости в пространстве.

Таким образом, количество плоскостей, проходящих через три точки, может быть либо одна, либо бесконечно много.

Ответ: если три точки лежат на одной прямой — бесконечно много плоскостей; если три точки не лежат на одной прямой — одна плоскость.

3. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из:

а) четырех;

б) пяти;

в)* n точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости?

Для решения этой задачи используется одна из аксиом стереометрии: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Условие, что никакие четыре точки не принадлежат одной плоскости, гарантирует, что каждая уникальная тройка точек будет задавать уникальную плоскость. Если бы, например, четыре точки лежали в одной плоскости, то все четыре возможные тройки из этих точек определяли бы одну и ту же плоскость. Заданное условие исключает такие случаи.

Следовательно, задача сводится к нахождению количества различных троек, которые можно составить из заданного числа точек. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы ищем количество сочетаний из $n$ точек по $k=3$.

а)

Нужно найти, сколько плоскостей проходит через различные тройки из четырех точек ($n=4$).

Вычисляем число сочетаний из 4 по 3:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.

Можно провести 4 плоскости.

Ответ: 4.

б)

Нужно найти, сколько плоскостей проходит через различные тройки из пяти точек ($n=5$).

Вычисляем число сочетаний из 5 по 3:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{120}{12} = 10$.

Можно провести 10 плоскостей.

Ответ: 10.

в)

Нужно найти, сколько плоскостей проходит через различные тройки из $n$ точек, при условии, что никакие четыре из них не лежат в одной плоскости.

Вычисляем число сочетаний из $n$ по 3:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)!}{3! \cdot (n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

Это общая формула для данного условия.

Ответ: $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

4. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство:

а) две плоскости;

б) три плоскости;

в)* четыре плоскости.

а) две плоскости;
Чтобы получить наибольшее число частей, плоскости не должны быть параллельны, они должны пересекаться.
Одна плоскость делит пространство на 2 части.
Вторая плоскость, пересекая первую, проходит через обе эти части и делит каждую из них еще на две. Таким образом, количество частей удваивается.
Или, можно рассуждать иначе: вторая плоскость добавляет столько новых частей, на сколько частей она сама разделена линией пересечения с первой плоскостью. Линия пересечения одна, она делит вторую плоскость на 2 части. Значит, к исходным 2 частям пространства добавляется еще 2.
Общее число частей: $2 + 2 = 4$.
Ответ: 4.

б) три плоскости;
Мы уже знаем, что две пересекающиеся плоскости делят пространство на 4 части.
Чтобы третья плоскость создала максимальное количество новых частей, она должна пересечь обе предыдущие плоскости. При этом линии пересечения на ней не должны быть параллельны. Это означает, что все три плоскости не должны проходить через одну общую прямую.
На третьей плоскости образуются две пересекающиеся линии (от пересечения с первыми двумя плоскостями). Эти две линии делят третью плоскость на 4 области.
Каждая из этих 4 областей на третьей плоскости разделяет одну из уже существующих частей пространства на две. Таким образом, третья плоскость добавляет 4 новые части.
Общее число частей: $4$ (от двух плоскостей) $+ 4$ (добавленные третьей) $= 8$.
Классический пример — три взаимно перпендикулярные координатные плоскости, которые делят пространство на 8 октантов.
Ответ: 8.

в)* четыре плоскости.
Исходя из предыдущего пункта, три плоскости делят пространство на 8 частей.
Чтобы четвертая плоскость добавила максимальное число новых частей, она должна пересечь все три предыдущие плоскости. При этом линии пересечения на ней не должны быть параллельны и не должны все пересекаться в одной точке.
На четвертой плоскости образуются три линии пересечения. Чтобы эти три линии разделили плоскость на максимальное число частей, они должны попарно пересекаться в трех разных точках, образуя треугольник.
Максимальное число частей, на которые $k$ прямых делят плоскость, вычисляется по формуле $R(k) = \frac{k(k+1)}{2} + 1$. Для $k=3$ получаем: $R(3) = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{12}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$ частей.
Каждая из этих 7 частей на четвертой плоскости разделяет одну из существующих 8 частей пространства на две. Таким образом, четвертая плоскость добавляет 7 новых частей.
Общее число частей: $8$ (от трех плоскостей) $+ 7$ (добавленные четвертой) $= 15$.
В общем случае, максимальное число $L(n)$ частей, на которые $n$ плоскостей делят пространство, описывается формулой:
$L(n) = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} = \frac{n^3 + 5n + 6}{6}$.
Для $n=4$: $L(4) = \frac{4^3 + 5 \cdot 4 + 6}{6} = \frac{64 + 20 + 6}{6} = \frac{90}{6} = 15$.
Ответ: 15.

б. Докажите, что если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методами аналитической геометрии, так как в аксиоматике стереометрии это утверждение часто принимается как одна из аксиом.

Пусть в пространстве задана плоскость $\alpha$ и прямая $a$.

Общее уравнение плоскости $\alpha$ в векторной форме выглядит как $(\vec{r} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = 0$. Здесь $\vec{r}$ — это радиус-вектор произвольной точки, принадлежащей плоскости, $\vec{r_0}$ — радиус-вектор некоторой известной точки, лежащей в этой плоскости, а $\vec{n}$ — это вектор нормали, то есть вектор, перпендикулярный плоскости $\alpha$.

Параметрическое уравнение прямой $a$ в векторной форме имеет вид $\vec{r}(t) = \vec{a_0} + t\vec{d}$. Здесь $\vec{a_0}$ — радиус-вектор начальной точки на прямой, $\vec{d}$ — направляющий вектор прямой, а $t$ — скалярный параметр, пробегающий все действительные числа.

Согласно условию задачи, прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют две общие точки. Назовем эти точки $M_1$ и $M_2$. Их радиус-векторы обозначим как $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$.

Поскольку точки $M_1$ и $M_2$ лежат на прямой $a$, их радиус-векторы должны удовлетворять уравнению прямой при некоторых значениях параметра $t$, скажем, $t_1$ и $t_2$:

$\vec{r_1} = \vec{a_0} + t_1\vec{d}$

$\vec{r_2} = \vec{a_0} + t_2\vec{d}$

Так как точки $M_1$ и $M_2$ по условию разные, то и значения параметра для них различны: $t_1 \neq t_2$.

Так как эти же точки $M_1$ и $M_2$ лежат в плоскости $\alpha$, их радиус-векторы должны удовлетворять уравнению плоскости:

1. $(\vec{r_1} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = 0$

2. $(\vec{r_2} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = 0$

Вычтем первое уравнение из второго:

$((\vec{r_2} - \vec{r_0}) - (\vec{r_1} - \vec{r_0})) \cdot \vec{n} = 0$

Раскрыв скобки, получим:

$(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot \vec{n} = 0$

Теперь найдем вектор $(\vec{r_2} - \vec{r_1})$, используя параметрические уравнения точек:

$\vec{r_2} - \vec{r_1} = (\vec{a_0} + t_2\vec{d}) - (\vec{a_0} + t_1\vec{d}) = (t_2 - t_1)\vec{d}$

Подставим это выражение в полученное ранее равенство:

$((t_2 - t_1)\vec{d}) \cdot \vec{n} = 0$

$(t_2 - t_1)(\vec{d} \cdot \vec{n}) = 0$

Поскольку точки различны, $t_2 - t_1 \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(t_2 - t_1)$, что приводит к выводу:

$\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$

Это равенство означает, что скалярное произведение направляющего вектора прямой и вектора нормали плоскости равно нулю. Это является условием ортогональности (перпендикулярности) этих векторов. Геометрически это означает, что прямая $a$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней.

Чтобы доказать, что прямая целиком лежит в плоскости, необходимо показать, что любая ее точка принадлежит этой плоскости. Возьмем произвольную точку $M$ на прямой $a$. Ее радиус-вектор $\vec{r}(t)$ можно задать уравнением, выбрав в качестве начальной точки одну из общих точек, например $M_1$. Тогда $\vec{a_0} = \vec{r_1}$, и уравнение прямой будет $\vec{r}(t) = \vec{r_1} + t\vec{d}$.

Проверим, удовлетворяет ли радиус-вектор этой произвольной точки уравнению плоскости. Подставим его в левую часть уравнения $(\vec{r} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n}$:

$((\vec{r_1} + t\vec{d}) - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = ((\vec{r_1} - \vec{r_0}) + t\vec{d}) \cdot \vec{n}$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем скобки:

$(\vec{r_1} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} + t(\vec{d} \cdot \vec{n})$

Проанализируем оба слагаемых:

Первое слагаемое $(\vec{r_1} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n}$ равно нулю, так как точка $M_1$ лежит в плоскости $\alpha$.

Второе слагаемое $t(\vec{d} \cdot \vec{n})$ также равно нулю, поскольку мы ранее доказали, что $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$.

Таким образом, сумма равна $0 + t \cdot 0 = 0$.

Мы показали, что для любого значения параметра $t$ соответствующая точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости. Это означает, что каждая точка прямой $a$ принадлежит плоскости $\alpha$, то есть прямая целиком лежит в этой плоскости.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то ее направляющий вектор ортогонален нормали плоскости. Так как, по условию, на прямой есть хотя бы одна точка, принадлежащая плоскости, то и все остальные точки прямой также принадлежат этой плоскости. Следовательно, прямая лежит в плоскости.

6. Докажите, что через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость.

Это утверждение, являющееся теоремой стереометрии, доказывается на основе аксиом. Доказательство традиционно состоит из двух частей: доказательства существования такой плоскости и доказательства её единственности.

Пусть нам даны прямая $a$ и точка $M$, которая не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$).

1. Доказательство существования.

На прямой $a$ всегда можно выбрать две различные точки (согласно аксиоме принадлежности). Назовем их $A$ и $B$. Таким образом, у нас есть три точки: $A$, $B$ и $M$.

Докажем, что эти три точки не лежат на одной прямой (неколлинеарны). Точки $A$ и $B$ лежат на прямой $a$. Если предположить, что точка $M$ также лежит на прямой, проходящей через $A$ и $B$, то это будет означать, что точка $M$ принадлежит прямой $a$. Однако это противоречит исходному условию, что $M \notin a$. Следовательно, точки $A$, $B$ и $M$ не лежат на одной прямой.

Согласно основной аксиоме стереометрии: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость, проходящую через точки $A$, $B$ и $M$, как $\alpha$.

Поскольку две точки ($A$ и $B$) прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по следствию из аксиом (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости) вся прямая $a$ также лежит в плоскости $\alpha$. Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ по нашему построению.

Таким образом, мы доказали существование плоскости $\alpha$, которая проходит через прямую $a$ и не принадлежащую ей точку $M$.

2. Доказательство единственности.

Теперь докажем, что такая плоскость может быть только одна. Предположим обратное: пусть существует еще одна плоскость $\beta$, отличная от $\alpha$, которая также проходит через прямую $a$ и точку $M$.

Поскольку плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, она содержит все точки этой прямой, включая наши точки $A$ и $B$. Также, по предположению, плоскость $\beta$ проходит через точку $M$. Это означает, что плоскость $\beta$ проходит через те же три точки $A$, $B$ и $M$, которые, как мы уже доказали, не лежат на одной прямой.

Но согласно той же аксиоме, через три неколлинеарные точки проходит только одна плоскость. Отсюда следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать. Это противоречит нашему предположению о том, что $\beta$ — это другая плоскость.

Следовательно, наше предположение было неверным, и существует только одна плоскость, проходящая через заданную прямую и не лежащую на ней точку.

Ответ: Утверждение доказано. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость. Это следует из аксиомы о том, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Выбрав на прямой две различные точки и добавив к ним заданную точку вне прямой, мы получаем три неколлинеарные точки, которые однозначно определяют плоскость. Любая другая плоскость, проходящая через исходную прямую и точку, должна будет проходить через те же три точки, а значит, совпадать с первой, что доказывает её единственность.

7. Докажите, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Для доказательства данного утверждения разобьем его на две части: доказательство существования плоскости и доказательство ее единственности.

1. Существование плоскости.
Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$. Отметим на прямой $a$ точку $A$, не совпадающую с точкой $M$, а на прямой $b$ — точку $B$, также не совпадающую с $M$. Таким образом, мы получили три различные точки: $A$, $B$ и $M$.

Эти три точки не лежат на одной прямой. Предположим обратное: точки $A$, $B$ и $M$ лежат на одной прямой. Поскольку точки $A$ и $M$ лежат на прямой $a$, то и точка $B$ должна лежать на прямой $a$. Аналогично, поскольку точки $B$ и $M$ лежат на прямой $b$, то и точка $A$ должна лежать на прямой $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ проходят через одни и те же точки $A$ и $B$ (и $M$), а значит, они совпадают. Это противоречит условию, что даны две различные пересекающиеся прямые. Следовательно, точки $A$, $B$ и $M$ не лежат на одной прямой (неколлинеарны).

Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Назовем ее $\alpha$.

Теперь покажем, что эта плоскость $\alpha$ содержит обе прямые $a$ и $b$. Так как две точки прямой $a$ (точки $A$ и $M$) принадлежат плоскости $\alpha$, то по следствию из аксиом стереометрии вся прямая $a$ лежит в этой плоскости. Аналогично, так как две точки прямой $b$ (точки $B$ и $M$) принадлежат плоскости $\alpha$, то и вся прямая $b$ лежит в этой плоскости. Таким образом, существование плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, доказано.

2. Единственность плоскости.
Теперь докажем, что такая плоскость единственна. Предположим, что существует другая плоскость, назовем ее $\beta$, которая также проходит через прямые $a$ и $b$. Это означает, что плоскость $\beta$ содержит все точки этих прямых, включая выбранные нами точки $A$, $B$ и $M$.

Таким образом, обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, проходят через три точки $A$, $B$ и $M$. Как мы уже доказали, эти точки не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме о том, что через три неколлинеарные точки проходит только одна плоскость, следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать.

Следовательно, плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, единственна. Утверждение полностью доказано.

Ответ: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна, что и требовалось доказать.

8. Сколько:

а) вершин;

б) ребер;

в) граней имеет куб?

а) вершин
Вершина куба — это точка, в которой сходятся три его ребра. У куба можно выделить 4 вершины на нижнем квадратном основании и 4 вершины на верхнем. Таким образом, общее количество вершин составляет $4 + 4 = 8$.
Ответ: 8.

б) ребер
Ребро куба — это отрезок, соединяющий две его вершины. У куба 4 ребра образуют нижнее основание, еще 4 ребра — верхнее основание, и 4 боковых ребра соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Суммируя, получаем $4 + 4 + 4 = 12$ ребер.
Ответ: 12.

в) граней
Грань куба — это плоская поверхность (многоугольник), которая его ограничивает. У куба 6 граней, каждая из которых является квадратом. Это нижняя и верхняя грани, а также четыре боковые грани.
Ответ: 6.

Для проверки правильности этих значений можно применить формулу Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — количество вершин, $Р$ — количество ребер, а $Г$ — количество граней.
Подставим наши значения: $8 - 12 + 6 = 2$.
$-4 + 6 = 2$.
$2 = 2$.
Равенство выполняется, значит, все значения найдены верно.

Сколько: а) вершин; б) ребер; в) граней имеет?

9. Сколько:

а) вершин;

б) ребер;

в) граней имеет параллелепипед?

а) вершин: Параллелепипед — это трехмерная фигура, у которой основаниями являются два равных параллелограмма, лежащих в параллельных плоскостях. Каждое из этих оснований имеет по 4 вершины. Таким образом, общее количество вершин у параллелепипеда — это сумма вершин верхнего и нижнего оснований.
$4 \text{ вершины у нижнего основания} + 4 \text{ вершины у верхнего основания} = 8$ вершин.
Ответ: 8

б) ребер: Ребро — это отрезок, по которому пересекаются две грани многогранника. У параллелепипеда есть ребра оснований и боковые ребра.
Нижнее основание имеет 4 ребра.
Верхнее основание также имеет 4 ребра.
Боковые ребра соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований, их тоже 4.
Суммируя все ребра, получаем: $4 + 4 + 4 = 12$ ребер.
Ответ: 12

в) граней: Грань — это плоский многоугольник, который является частью поверхности многогранника. Параллелепипед является шестигранником, так как его поверхность состоит из шести граней, каждая из которых — параллелограмм.
Он состоит из 2 оснований (верхняя и нижняя грань) и 4 боковых граней.
Итого: $2 \text{ (основания)} + 4 \text{ (боковые грани)} = 6$ граней.
Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, $Г$ — число граней. Проверим наши результаты: $8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$. Равенство выполняется, значит, расчеты верны.
Ответ: 6

10. Сколько вершин имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная призма?

Призма — это многогранник, у которого две грани, называемые основаниями, являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. Остальные грани, называемые боковыми, являются параллелограммами, которые соединяют соответствующие стороны оснований.

Вершинами призмы являются вершины её оснований. Поскольку у призмы два одинаковых основания (верхнее и нижнее), общее количество вершин можно найти, умножив количество вершин многоугольника, лежащего в основании, на 2. Если в основании лежит n-угольник (многоугольник с $n$ вершинами), то общее число вершин призмы будет равно $2 \times n$.

а) треугольная
В основании треугольной призмы лежит треугольник. Треугольник имеет 3 вершины. Следовательно, общее количество вершин у треугольной призмы равно:
$3 \times 2 = 6$
Ответ: 6.

б) четырехугольная
В основании четырехугольной призмы лежит четырехугольник. Четырехугольник имеет 4 вершины. Следовательно, общее количество вершин у четырехугольной призмы равно:
$4 \times 2 = 8$
Ответ: 8.

в) пятиугольная
В основании пятиугольной призмы лежит пятиугольник. Пятиугольник имеет 5 вершин. Следовательно, общее количество вершин у пятиугольной призмы равно:
$5 \times 2 = 10$
Ответ: 10.

г) шестиугольная
В основании шестиугольной призмы лежит шестиугольник. Шестиугольник имеет 6 вершин. Следовательно, общее количество вершин у шестиугольной призмы равно:
$6 \times 2 = 12$
Ответ: 12.

д) n-угольная
В основании n-угольной призмы лежит n-угольник, который имеет $n$ вершин. Применяя общую формулу, получаем, что количество вершин у n-угольной призмы равно:
$2 \times n = 2n$
Ответ: $2n$.

11. Может ли призма иметь: а) 9; б) 10; в) 12; г) 15 вершин?

Для определения возможности существования призмы с заданным числом вершин, воспользуемся свойством призмы. Призма — это многогранник, у которого есть два одинаковых и параллельных основания (многоугольники) и боковые грани в форме параллелограммов.
Пусть в основании призмы лежит n-угольник, то есть многоугольник с $n$ сторонами и, соответственно, $n$ вершинами. Так как у призмы два основания (верхнее и нижнее), то общее число вершин $V$ будет в два раза больше числа вершин одного основания.
Формула для вычисления числа вершин призмы: $V = 2n$, где $n$ — число вершин (или сторон) многоугольника в основании.
Поскольку многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны, то $n \ge 3$. Из формулы следует, что общее число вершин $V$ всегда должно быть четным числом, и $V \ge 2 \times 3 = 6$.
Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

а) 9 вершин
Число 9 — нечетное. Так как число вершин любой призмы должно быть четным ($V = 2n$), призма не может иметь 9 вершин. Если мы попробуем найти $n$, то получим $9 = 2n$, откуда $n = 4.5$. Число сторон основания не может быть дробным.
Ответ: не может.

б) 10 вершин
Проверим, может ли призма иметь 10 вершин. Используем формулу $V = 2n$:
$10 = 2n$
$n = 10 / 2 = 5$
Так как $n=5$ является целым числом и $5 \ge 3$, то такая призма существует. Это будет пятиугольная призма, у которой 5 вершин в нижнем основании и 5 вершин в верхнем.
Ответ: может.

в) 12 вершин
Проверим, может ли призма иметь 12 вершин. Используем формулу $V = 2n$:
$12 = 2n$
$n = 12 / 2 = 6$
Так как $n=6$ является целым числом и $6 \ge 3$, то такая призма существует. Это будет шестиугольная призма.
Ответ: может.

г) 15 вершин
Число 15 — нечетное. Как и в случае с 9 вершинами, призма не может иметь нечетное число вершин. Проверка по формуле дает $15 = 2n$, откуда $n = 7.5$, что не является целым числом.
Ответ: не может.

12. Сколько ребер имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная призма?

а) треугольная

Треугольная призма имеет два основания, каждое из которых является треугольником. Треугольник имеет 3 стороны (ребра). Таким образом, два основания вместе имеют $3 + 3 = 6$ ребер. Кроме того, есть 3 боковых ребра, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Общее количество ребер составляет: $3 \text{ (нижнее основание)} + 3 \text{ (верхнее основание)} + 3 \text{ (боковые)} = 9$.

Ответ: 9

б) четырехугольная

Четырехугольная призма имеет в основаниях два четырехугольника. Каждый четырехугольник имеет 4 ребра. Два основания вместе имеют $4 + 4 = 8$ ребер. Боковых ребер, соединяющих вершины оснований, также 4. Следовательно, общее количество ребер: $4 + 4 + 4 = 12$.

Ответ: 12

в) пятиугольная

У пятиугольной призмы в основаниях лежат два пятиугольника. У каждого пятиугольника 5 сторон, значит, в двух основаниях $5 + 5 = 10$ ребер. Количество боковых ребер равно количеству вершин в основании, то есть 5. Общее число ребер составляет: $5 + 5 + 5 = 15$.

Ответ: 15

г) шестиугольная

Шестиугольная призма имеет в основаниях два шестиугольника, каждый из которых имеет 6 ребер. Таким образом, в основаниях $6 + 6 = 12$ ребер. Боковых ребер, соединяющих вершины, тоже 6. Итоговое количество ребер: $6 + 6 + 6 = 18$.

Ответ: 18

д) n-угольная

Для произвольной n-угольной призмы основаниями являются два n-угольника. Каждый n-угольник имеет $n$ ребер. Таким образом, у двух оснований $n + n = 2n$ ребер. Количество боковых ребер, соединяющих соответствующие вершины оснований, также равно $n$. Общее количество ребер $K$ для n-угольной призмы вычисляется по формуле: $K = n_{\text{ребер в одном основании}} + n_{\text{ребер во втором основании}} + n_{\text{боковых ребер}} = n + n + n = 3n$.

Ответ: $3n$

13. Может ли призма иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 ребер?

Чтобы определить, может ли призма иметь заданное количество ребер, необходимо знать, как связано количество ребер с типом призмы. У любой n-угольной призмы есть два основания, которые являются n-угольниками, и боковые грани, которые соединяют эти основания.

Количество ребер у одного основания равно $n$.

Количество ребер у второго основания также равно $n$.

Количество боковых ребер, соединяющих вершины оснований, равно $n$.

Следовательно, общее количество ребер (обозначим его как $Р$) у n-угольной призмы вычисляется по формуле: $Р = n + n + n = 3n$, где $n$ — это количество вершин (или сторон) многоугольника в основании. Поскольку многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны (треугольник), то $n$ должно быть целым числом, и $n \ge 3$.

Из формулы $Р = 3n$ следует, что общее количество ребер у любой призмы всегда должно быть кратно 3.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

а) 9 ребер

Проверим, может ли призма иметь 9 ребер. Для этого нужно выяснить, существует ли такое целое число $n \ge 3$, что $3n = 9$.

$n = 9 / 3 = 3$

Число $n=3$ является целым и удовлетворяет условию $n \ge 3$. Это означает, что призма, в основании которой лежит треугольник (треугольная призма), будет иметь 9 ребер.

Ответ: да, может.

б) 10 ребер

Проверим, может ли призма иметь 10 ребер. Для этого число 10 должно делиться на 3 нацело.

$10 / 3 = 3.33...$

Поскольку 10 не делится на 3 без остатка, не существует целого числа $n$, для которого $3n = 10$. Следовательно, призма не может иметь 10 ребер.

Ответ: нет, не может.

в) 12 ребер

Проверим, может ли призма иметь 12 ребер. Найдем $n$ из уравнения $3n = 12$.

$n = 12 / 3 = 4$

Число $n=4$ является целым и удовлетворяет условию $n \ge 3$. Это означает, что призма, в основании которой лежит четырехугольник (четырехугольная призма), будет иметь 12 ребер.

Ответ: да, может.

г) 15 ребер

Проверим, может ли призма иметь 15 ребер. Найдем $n$ из уравнения $3n = 15$.

$n = 15 / 3 = 5$

Число $n=5$ является целым и удовлетворяет условию $n \ge 3$. Это означает, что призма, в основании которой лежит пятиугольник (пятиугольная призма), будет иметь 15 ребер.

Ответ: да, может.

14. Сколько граней имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная призма?

а)

Призма, в основании которой лежит треугольник (3 стороны), называется треугольной. У любой призмы есть два основания и боковые грани, число которых равно числу сторон многоугольника в основании. Следовательно, у треугольной призмы 2 основания (треугольники) и 3 боковые грани (параллелограммы). Общее число граней: $2 + 3 = 5$.

Ответ: 5

б)

У четырехугольной призмы в основании лежит четырехугольник (4 стороны). У нее 2 основания и 4 боковые грани. Общее число граней: $2 + 4 = 6$.

Ответ: 6

в)

У пятиугольной призмы в основании лежит пятиугольник (5 сторон). У нее 2 основания и 5 боковых граней. Общее число граней: $2 + 5 = 7$.

Ответ: 7

г)

У шестиугольной призмы в основании лежит шестиугольник (6 сторон). У нее 2 основания и 6 боковых граней. Общее число граней: $2 + 6 = 8$.

Ответ: 8

д)

В общем случае, у n-угольной призмы в основании лежит многоугольник с $n$ сторонами. Такая призма всегда имеет 2 основания и $n$ боковых граней. Таким образом, общее количество граней для n-угольной призмы вычисляется по формуле: $2 + n$.

Ответ: $n + 2$

15. Может ли призма иметь:
а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 граней?

Для того чтобы определить, может ли призма иметь заданное количество граней, необходимо понять, как это количество связано со строением призмы.

Любая призма имеет два основания, которые являются равными многоугольниками, и боковые грани, которые являются параллелограммами. Количество боковых граней равно количеству сторон многоугольника в основании.

Пусть в основании призмы лежит $n$-угольник. Тогда у призмы будет $n$ боковых граней и 2 основания. Общее число граней $F$ можно найти по формуле: $F = n + 2$

Поскольку $n$ — это количество сторон многоугольника, оно должно быть целым числом, не меньшим 3 (самый простой многоугольник — это треугольник), то есть $n \ge 3$. Соответственно, общее число граней призмы $F$ должно быть целым числом, не меньшим чем $3 + 2 = 5$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов, используя формулу $n = F - 2$.

а) 9 граней
Проверим, может ли призма иметь 9 граней. Пусть общее число граней $F = 9$. Найдем число сторон многоугольника в основании $n$.
$n = F - 2 = 9 - 2 = 7$.
Поскольку $n=7$ является целым числом и удовлетворяет условию $n \ge 3$, то призма с 9 гранями существует. Это семиугольная призма.
Ответ: да, может.

б) 10 граней
Проверим, может ли призма иметь 10 граней. Пусть $F = 10$.
$n = F - 2 = 10 - 2 = 8$.
Поскольку $n=8$ является целым числом и удовлетворяет условию $n \ge 3$, то призма с 10 гранями существует. Это восьмиугольная призма.
Ответ: да, может.

в) 12 граней
Проверим, может ли призма иметь 12 граней. Пусть $F = 12$.
$n = F - 2 = 12 - 2 = 10$.
Поскольку $n=10$ является целым числом и удовлетворяет условию $n \ge 3$, то призма с 12 гранями существует. Это десятиугольная призма.
Ответ: да, может.

г) 15 граней
Проверим, может ли призма иметь 15 граней. Пусть $F = 15$.
$n = F - 2 = 15 - 2 = 13$.
Поскольку $n=13$ является целым числом и удовлетворяет условию $n \ge 3$, то призма с 15 гранями существует. Это тринадцатиугольная призма.
Ответ: да, может.

16. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей:

а) 12;

б) 15;

в) 18 ребер?

Чтобы определить, какой многоугольник лежит в основании призмы, необходимо установить связь между общим количеством ребер призмы и количеством сторон многоугольника в ее основании.

Пусть в основании призмы лежит n-угольник, то есть многоугольник, имеющий $n$ сторон. У призмы есть два основания: нижнее и верхнее. Каждое из них имеет по $n$ ребер. Кроме того, призма имеет $n$ боковых ребер, которые соединяют соответствующие вершины оснований.

Таким образом, общее количество ребер призмы ($E$) можно рассчитать по формуле:
$E = (\text{ребра нижнего основания}) + (\text{ребра верхнего основания}) + (\text{боковые ребра})$
$E = n + n + n = 3n$

Зная общее количество ребер $E$, можно найти количество сторон $n$ многоугольника в основании, разделив общее число ребер на 3:
$n = E / 3$

Теперь применим эту формулу для каждого случая.

а) Призма имеет 12 ребер.
Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = 12 / 3 = 4$.
Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырехугольником.
Ответ: в основании призмы лежит четырехугольник.

б) Призма имеет 15 ребер.
Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = 15 / 3 = 5$.
Многоугольник с пятью сторонами называется пятиугольником.
Ответ: в основании призмы лежит пятиугольник.

в) Призма имеет 18 ребер.
Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = 18 / 3 = 6$.
Многоугольник с шестью сторонами называется шестиугольником.
Ответ: в основании призмы лежит шестиугольник.

17. Сколько вершин имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная пирамида?

а) треугольная
Пирамида, у которой в основании лежит треугольник, называется треугольной. Треугольник имеет 3 вершины. Кроме этих трех вершин основания, у пирамиды есть еще одна вершина, которая является общей для всех боковых граней (апекс). Таким образом, общее количество вершин у треугольной пирамиды равно сумме вершин в основании и апекса.
Число вершин = $3 + 1 = 4$.
Ответ: 4.

б) четырехугольная
У четырехугольной пирамиды в основании лежит четырехугольник, который имеет 4 вершины. Добавив к этим вершинам одну вершину-апекс, получим общее количество вершин пирамиды.
Число вершин = $4 + 1 = 5$.
Ответ: 5.

в) пятиугольная
В основании пятиугольной пирамиды находится пятиугольник с 5 вершинами. Общее число вершин такой пирамиды включает 5 вершин основания и 1 вершину-апекс.
Число вершин = $5 + 1 = 6$.
Ответ: 6.

г) шестиугольная
В основании шестиугольной пирамиды лежит шестиугольник, имеющий 6 вершин. Следовательно, общее количество вершин пирамиды будет на одну больше.
Число вершин = $6 + 1 = 7$.
Ответ: 7.

д) n-угольная
В общем случае, у n-угольной пирамиды в основании лежит многоугольник с $n$ вершинами (n-угольник). К этим $n$ вершинам основания добавляется одна вершина-апекс. Таким образом, общее количество вершин для любой n-угольной пирамиды можно вычислить по формуле:
Число вершин = $n + 1$.
Ответ: $n + 1$.

18. Может ли пирамида иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 вершин?

Пирамида — это многогранник, состоящий из многоугольника в основании и вершины (апекса), не лежащей в плоскости основания. Все вершины основания соединены с апексом. Таким образом, вершины пирамиды — это все вершины многоугольника в основании плюс одна вершина-апекс.

Пусть в основании пирамиды лежит $n$-угольник. У такого многоугольника $n$ вершин. Общее число вершин пирамиды, обозначим его $V$, вычисляется по формуле:

$V = n + 1$

Из этой формулы можно выразить количество вершин в основании $n$ через общее число вершин $V$:

$n = V - 1$

Поскольку основанием пирамиды является многоугольник, число его вершин $n$ должно быть целым числом и не может быть меньше трёх, то есть $n \ge 3$. Это означает, что для существования пирамиды с $V$ вершинами необходимо, чтобы число $n = V - 1$ было целым и не меньшим 3. Проверим это условие для каждого из предложенных случаев.

а) 9;
Если пирамида имеет $V=9$ вершин, то количество вершин в её основании должно быть $n = 9 - 1 = 8$. Поскольку $n=8$ — это целое число и $8 \ge 3$, то в основании пирамиды может лежать восьмиугольник. Следовательно, пирамида с 9 вершинами существует.
Ответ: Да, может.

б) 10;
Если пирамида имеет $V=10$ вершин, то количество вершин в её основании должно быть $n = 10 - 1 = 9$. Поскольку $n=9$ — это целое число и $9 \ge 3$, то в основании пирамиды может лежать девятиугольник. Следовательно, пирамида с 10 вершинами существует.
Ответ: Да, может.

в) 12;
Если пирамида имеет $V=12$ вершин, то количество вершин в её основании должно быть $n = 12 - 1 = 11$. Поскольку $n=11$ — это целое число и $11 \ge 3$, то в основании пирамиды может лежать одиннадцатиугольник. Следовательно, пирамида с 12 вершинами существует.
Ответ: Да, может.

г) 15;
Если пирамида имеет $V=15$ вершин, то количество вершин в её основании должно быть $n = 15 - 1 = 14$. Поскольку $n=14$ — это целое число и $14 \ge 3$, то в основании пирамиды может лежать четырнадцатиугольник. Следовательно, пирамида с 15 вершинами существует.
Ответ: Да, может.

19. Сколько ребер имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная пирамида?

Для того чтобы определить количество ребер у пирамиды, необходимо сложить количество ребер в ее основании с количеством боковых ребер. Количество ребер в основании равно количеству сторон многоугольника, лежащего в основании. Количество боковых ребер равно количеству вершин этого многоугольника (и, соответственно, количеству его сторон), так как каждое боковое ребро соединяет одну вершину основания с вершиной пирамиды.

а) треугольная
Основанием треугольной пирамиды является треугольник. У треугольника 3 стороны, что дает 3 ребра основания. Из каждой из 3 вершин основания к вершине пирамиды идет по одному боковому ребру, что дает еще 3 боковых ребра.
Общее количество ребер равно: $3 \text{ (ребра основания)} + 3 \text{ (боковые ребра)} = 6$.
Ответ: 6.

б) четырехугольная
Основанием четырехугольной пирамиды является четырехугольник. У четырехугольника 4 стороны, что дает 4 ребра основания. Из каждой из 4 вершин основания к вершине пирамиды идет по одному боковому ребру, что дает еще 4 боковых ребра.
Общее количество ребер равно: $4 \text{ (ребра основания)} + 4 \text{ (боковые ребра)} = 8$.
Ответ: 8.

в) пятиугольная
Основанием пятиугольной пирамиды является пятиугольник. У пятиугольника 5 сторон, что дает 5 ребер основания. Из каждой из 5 вершин основания к вершине пирамиды идет по одному боковому ребру, что дает еще 5 боковых ребер.
Общее количество ребер равно: $5 \text{ (ребер основания)} + 5 \text{ (боковые ребра)} = 10$.
Ответ: 10.

г) шестиугольная
Основанием шестиугольной пирамиды является шестиугольник. У шестиугольника 6 сторон, что дает 6 ребер основания. Из каждой из 6 вершин основания к вершине пирамиды идет по одному боковому ребру, что дает еще 6 боковых ребер.
Общее количество ребер равно: $6 \text{ (ребер основания)} + 6 \text{ (боковые ребра)} = 12$.
Ответ: 12.

д) n-угольная пирамида
Основанием n-угольной пирамиды является n-угольник. У n-угольника $n$ сторон, что дает $n$ ребер основания. Из каждой из $n$ вершин основания к вершине пирамиды идет по одному боковому ребру, что дает еще $n$ боковых ребер.
Общее количество ребер вычисляется по формуле: $n \text{ (ребра основания)} + n \text{ (боковые ребра)} = 2n$.
Ответ: $2n$.

20. Может ли пирамида иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 ребер?

Для того чтобы определить, может ли пирамида иметь заданное количество ребер, воспользуемся свойством строения пирамиды. У любой пирамиды есть основание — это n-угольник, и боковые грани, сходящиеся в одной вершине.Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник). У этого основания $n$ ребер. От каждой из $n$ вершин основания к вершине пирамиды идет одно боковое ребро. Таким образом, количество боковых ребер также равно $n$.Общее количество ребер пирамиды, обозначим его $Р$, равно сумме ребер основания и боковых ребер:$Р = n + n = 2n$Из этой формулы следует, что общее количество ребер в любой пирамиде всегда является четным числом. Кроме того, поскольку в основании лежит многоугольник, число его сторон $n$ должно быть целым числом, не меньшим 3 (то есть $n \ge 3$). Соответственно, общее число ребер $Р$ должно быть четным числом, не меньшим $2 \times 3 = 6$.Проверим каждый из предложенных вариантов.

а) 9;Число 9 является нечетным. Так как общее количество ребер в пирамиде всегда должно быть четным ($Р = 2n$), то пирамида не может иметь 9 ребер. Попытка найти число сторон в основании $n$ дает нецелое число: $n = 9/2 = 4.5$.Ответ: нет.

б) 10;Число 10 является четным. Проверим, возможно ли подобрать для такого количества ребер основание. Из формулы $Р = 2n$ получаем $10 = 2n$, откуда $n = 5$. Так как $n=5$ является целым числом и $5 \ge 3$, то пирамида с 10 ребрами может существовать. В ее основании будет лежать пятиугольник (5 ребер в основании и 5 боковых ребер).Ответ: да.

в) 12;Число 12 является четным. Найдем соответствующее число сторон в основании $n$ из уравнения $12 = 2n$, откуда $n = 6$. Так как $n=6$ является целым числом и $6 \ge 3$, то пирамида с 12 ребрами может существовать. В ее основании будет лежать шестиугольник (6 ребер в основании и 6 боковых ребер).Ответ: да.

г) 15Число 15 является нечетным. Как было установлено ранее, общее число ребер в любой пирамиде должно быть четным. Следовательно, пирамида не может иметь 15 ребер.Ответ: нет.

21. Сколько граней имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная пирамида?

Пирамида — это многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. Общее количество граней пирамиды складывается из одной грани основания и боковых граней, число которых равно числу сторон многоугольника в основании.

а) У треугольной пирамиды в основании лежит треугольник. Треугольник имеет 3 стороны. Следовательно, у пирамиды будет 3 боковые грани (треугольники) и 1 грань-основание (тоже треугольник). Общее число граней: $3 + 1 = 4$. Такая фигура также называется тетраэдром.
Ответ: 4.

б) У четырехугольной пирамиды в основании лежит четырехугольник. Четырехугольник имеет 4 стороны. Следовательно, у пирамиды будет 4 боковые грани и 1 грань-основание. Общее число граней: $4 + 1 = 5$.
Ответ: 5.

в) У пятиугольной пирамиды в основании лежит пятиугольник. Пятиугольник имеет 5 сторон. Следовательно, у пирамиды будет 5 боковых граней и 1 грань-основание. Общее число граней: $5 + 1 = 6$.
Ответ: 6.

г) У шестиугольной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Шестиугольник имеет 6 сторон. Следовательно, у пирамиды будет 6 боковых граней и 1 грань-основание. Общее число граней: $6 + 1 = 7$.
Ответ: 7.

д) У n-угольной пирамиды в основании лежит n-угольник (многоугольник с $n$ сторонами). Соответственно, у такой пирамиды будет $n$ боковых треугольных граней и 1 грань-основание. Общее число граней можно вычислить по формуле: $n + 1$.
Ответ: $n+1$.

22. Может ли пирамида иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 граней?

Чтобы ответить на вопрос, может ли пирамида иметь определенное количество граней, необходимо рассмотреть ее геометрическое строение. Пирамида — это многогранник, состоящий из основания, которое является многоугольником, и боковых граней, которые являются треугольниками с одной общей вершиной.

Количество боковых граней пирамиды всегда равно количеству сторон многоугольника, лежащего в ее основании. Если в основании пирамиды находится $n$-угольник (многоугольник с $n$ сторонами), то у пирамиды будет $n$ боковых граней. Общее число граней (обозначим его Г) равно сумме одной грани-основания и $n$ боковых граней.

Таким образом, для любой пирамиды справедлива формула, связывающая число граней Г с числом сторон основания $n$:$ \text{Г} = 1 + n $

По определению, любой многоугольник должен иметь как минимум три стороны, следовательно, $n \ge 3$. Это означает, что наименьшее возможное число граней у пирамиды равно $1 + 3 = 4$ (такая пирамида называется тетраэдром).

Из формулы $ \text{Г} = 1 + n $ мы можем выразить число сторон основания: $n = \text{Г} - 1$. Для того чтобы пирамида с заданным числом граней Г могла существовать, необходимо и достаточно, чтобы вычисленное значение $n$ было целым числом и удовлетворяло условию $n \ge 3$.

Проверим это условие для каждого из предложенных в задаче вариантов.

а) 9
Пусть пирамида имеет 9 граней, то есть $\text{Г} = 9$. Найдем соответствующее число сторон основания $n$:$n = \text{Г} - 1 = 9 - 1 = 8$.Поскольку $n=8$ является целым числом и удовлетворяет условию $8 \ge 3$, то пирамида с 9 гранями существовать может. В ее основании будет лежать восьмиугольник. Такая пирамида будет иметь 1 грань-основание и 8 боковых граней, что в сумме дает 9 граней.
Ответ: Да, может.

б) 10
Пусть пирамида имеет 10 граней, то есть $\text{Г} = 10$. Найдем число сторон основания $n$:$n = \text{Г} - 1 = 10 - 1 = 9$.Поскольку $n=9$ — это целое число и $9 \ge 3$, то пирамида с 10 гранями может существовать. В ее основании будет лежать девятиугольник.
Ответ: Да, может.

в) 12
Пусть пирамида имеет 12 граней, то есть $\text{Г} = 12$. Найдем число сторон основания $n$:$n = \text{Г} - 1 = 12 - 1 = 11$.Поскольку $n=11$ — это целое число и $11 \ge 3$, то пирамида с 12 гранями может существовать. В ее основании будет лежать одиннадцатиугольник.
Ответ: Да, может.

г) 15
Пусть пирамида имеет 15 граней, то есть $\text{Г} = 15$. Найдем число сторон основания $n$:$n = \text{Г} - 1 = 15 - 1 = 14$.Поскольку $n=14$ — это целое число и $14 \ge 3$, то пирамида с 15 гранями может существовать. В ее основании будет лежать четырнадцатиугольник.
Ответ: Да, может.