Номер 3, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из:

а) четырех;

б) пяти;

в)* n точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости?

Для решения этой задачи используется одна из аксиом стереометрии: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Условие, что никакие четыре точки не принадлежат одной плоскости, гарантирует, что каждая уникальная тройка точек будет задавать уникальную плоскость. Если бы, например, четыре точки лежали в одной плоскости, то все четыре возможные тройки из этих точек определяли бы одну и ту же плоскость. Заданное условие исключает такие случаи.

Следовательно, задача сводится к нахождению количества различных троек, которые можно составить из заданного числа точек. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы ищем количество сочетаний из $n$ точек по $k=3$.

а)

Нужно найти, сколько плоскостей проходит через различные тройки из четырех точек ($n=4$).

Вычисляем число сочетаний из 4 по 3:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$.

Можно провести 4 плоскости.

Ответ: 4.

б)

Нужно найти, сколько плоскостей проходит через различные тройки из пяти точек ($n=5$).

Вычисляем число сочетаний из 5 по 3:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{120}{12} = 10$.

Можно провести 10 плоскостей.

Ответ: 10.

в)

Нужно найти, сколько плоскостей проходит через различные тройки из $n$ точек, при условии, что никакие четыре из них не лежат в одной плоскости.

Вычисляем число сочетаний из $n$ по 3:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)!}{3! \cdot (n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

Это общая формула для данного условия.

Ответ: $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.