Номер 7, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Докажите, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Для доказательства данного утверждения разобьем его на две части: доказательство существования плоскости и доказательство ее единственности.

1. Существование плоскости.
Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$. Отметим на прямой $a$ точку $A$, не совпадающую с точкой $M$, а на прямой $b$ — точку $B$, также не совпадающую с $M$. Таким образом, мы получили три различные точки: $A$, $B$ и $M$.

Эти три точки не лежат на одной прямой. Предположим обратное: точки $A$, $B$ и $M$ лежат на одной прямой. Поскольку точки $A$ и $M$ лежат на прямой $a$, то и точка $B$ должна лежать на прямой $a$. Аналогично, поскольку точки $B$ и $M$ лежат на прямой $b$, то и точка $A$ должна лежать на прямой $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ проходят через одни и те же точки $A$ и $B$ (и $M$), а значит, они совпадают. Это противоречит условию, что даны две различные пересекающиеся прямые. Следовательно, точки $A$, $B$ и $M$ не лежат на одной прямой (неколлинеарны).

Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Назовем ее $\alpha$.

Теперь покажем, что эта плоскость $\alpha$ содержит обе прямые $a$ и $b$. Так как две точки прямой $a$ (точки $A$ и $M$) принадлежат плоскости $\alpha$, то по следствию из аксиом стереометрии вся прямая $a$ лежит в этой плоскости. Аналогично, так как две точки прямой $b$ (точки $B$ и $M$) принадлежат плоскости $\alpha$, то и вся прямая $b$ лежит в этой плоскости. Таким образом, существование плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, доказано.

2. Единственность плоскости.
Теперь докажем, что такая плоскость единственна. Предположим, что существует другая плоскость, назовем ее $\beta$, которая также проходит через прямые $a$ и $b$. Это означает, что плоскость $\beta$ содержит все точки этих прямых, включая выбранные нами точки $A$, $B$ и $M$.

Таким образом, обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, проходят через три точки $A$, $B$ и $M$. Как мы уже доказали, эти точки не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме о том, что через три неколлинеарные точки проходит только одна плоскость, следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать.

Следовательно, плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, единственна. Утверждение полностью доказано.

Ответ: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна, что и требовалось доказать.