Номер 11, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Может ли призма иметь: а) 9; б) 10; в) 12; г) 15 вершин?

Для определения возможности существования призмы с заданным числом вершин, воспользуемся свойством призмы. Призма — это многогранник, у которого есть два одинаковых и параллельных основания (многоугольники) и боковые грани в форме параллелограммов.
Пусть в основании призмы лежит n-угольник, то есть многоугольник с $n$ сторонами и, соответственно, $n$ вершинами. Так как у призмы два основания (верхнее и нижнее), то общее число вершин $V$ будет в два раза больше числа вершин одного основания.
Формула для вычисления числа вершин призмы: $V = 2n$, где $n$ — число вершин (или сторон) многоугольника в основании.
Поскольку многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны, то $n \ge 3$. Из формулы следует, что общее число вершин $V$ всегда должно быть четным числом, и $V \ge 2 \times 3 = 6$.
Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

а) 9 вершин
Число 9 — нечетное. Так как число вершин любой призмы должно быть четным ($V = 2n$), призма не может иметь 9 вершин. Если мы попробуем найти $n$, то получим $9 = 2n$, откуда $n = 4.5$. Число сторон основания не может быть дробным.
Ответ: не может.

б) 10 вершин
Проверим, может ли призма иметь 10 вершин. Используем формулу $V = 2n$:
$10 = 2n$
$n = 10 / 2 = 5$
Так как $n=5$ является целым числом и $5 \ge 3$, то такая призма существует. Это будет пятиугольная призма, у которой 5 вершин в нижнем основании и 5 вершин в верхнем.
Ответ: может.

в) 12 вершин
Проверим, может ли призма иметь 12 вершин. Используем формулу $V = 2n$:
$12 = 2n$
$n = 12 / 2 = 6$
Так как $n=6$ является целым числом и $6 \ge 3$, то такая призма существует. Это будет шестиугольная призма.
Ответ: может.

г) 15 вершин
Число 15 — нечетное. Как и в случае с 9 вершинами, призма не может иметь нечетное число вершин. Проверка по формуле дает $15 = 2n$, откуда $n = 7.5$, что не является целым числом.
Ответ: не может.