Номер 5, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

б. Докажите, что если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методами аналитической геометрии, так как в аксиоматике стереометрии это утверждение часто принимается как одна из аксиом.

Пусть в пространстве задана плоскость $\alpha$ и прямая $a$.

Общее уравнение плоскости $\alpha$ в векторной форме выглядит как $(\vec{r} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = 0$. Здесь $\vec{r}$ — это радиус-вектор произвольной точки, принадлежащей плоскости, $\vec{r_0}$ — радиус-вектор некоторой известной точки, лежащей в этой плоскости, а $\vec{n}$ — это вектор нормали, то есть вектор, перпендикулярный плоскости $\alpha$.

Параметрическое уравнение прямой $a$ в векторной форме имеет вид $\vec{r}(t) = \vec{a_0} + t\vec{d}$. Здесь $\vec{a_0}$ — радиус-вектор начальной точки на прямой, $\vec{d}$ — направляющий вектор прямой, а $t$ — скалярный параметр, пробегающий все действительные числа.

Согласно условию задачи, прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют две общие точки. Назовем эти точки $M_1$ и $M_2$. Их радиус-векторы обозначим как $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$.

Поскольку точки $M_1$ и $M_2$ лежат на прямой $a$, их радиус-векторы должны удовлетворять уравнению прямой при некоторых значениях параметра $t$, скажем, $t_1$ и $t_2$:

$\vec{r_1} = \vec{a_0} + t_1\vec{d}$

$\vec{r_2} = \vec{a_0} + t_2\vec{d}$

Так как точки $M_1$ и $M_2$ по условию разные, то и значения параметра для них различны: $t_1 \neq t_2$.

Так как эти же точки $M_1$ и $M_2$ лежат в плоскости $\alpha$, их радиус-векторы должны удовлетворять уравнению плоскости:

1. $(\vec{r_1} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = 0$

2. $(\vec{r_2} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = 0$

Вычтем первое уравнение из второго:

$((\vec{r_2} - \vec{r_0}) - (\vec{r_1} - \vec{r_0})) \cdot \vec{n} = 0$

Раскрыв скобки, получим:

$(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot \vec{n} = 0$

Теперь найдем вектор $(\vec{r_2} - \vec{r_1})$, используя параметрические уравнения точек:

$\vec{r_2} - \vec{r_1} = (\vec{a_0} + t_2\vec{d}) - (\vec{a_0} + t_1\vec{d}) = (t_2 - t_1)\vec{d}$

Подставим это выражение в полученное ранее равенство:

$((t_2 - t_1)\vec{d}) \cdot \vec{n} = 0$

$(t_2 - t_1)(\vec{d} \cdot \vec{n}) = 0$

Поскольку точки различны, $t_2 - t_1 \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(t_2 - t_1)$, что приводит к выводу:

$\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$

Это равенство означает, что скалярное произведение направляющего вектора прямой и вектора нормали плоскости равно нулю. Это является условием ортогональности (перпендикулярности) этих векторов. Геометрически это означает, что прямая $a$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней.

Чтобы доказать, что прямая целиком лежит в плоскости, необходимо показать, что любая ее точка принадлежит этой плоскости. Возьмем произвольную точку $M$ на прямой $a$. Ее радиус-вектор $\vec{r}(t)$ можно задать уравнением, выбрав в качестве начальной точки одну из общих точек, например $M_1$. Тогда $\vec{a_0} = \vec{r_1}$, и уравнение прямой будет $\vec{r}(t) = \vec{r_1} + t\vec{d}$.

Проверим, удовлетворяет ли радиус-вектор этой произвольной точки уравнению плоскости. Подставим его в левую часть уравнения $(\vec{r} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n}$:

$((\vec{r_1} + t\vec{d}) - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = ((\vec{r_1} - \vec{r_0}) + t\vec{d}) \cdot \vec{n}$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем скобки:

$(\vec{r_1} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} + t(\vec{d} \cdot \vec{n})$

Проанализируем оба слагаемых:

Первое слагаемое $(\vec{r_1} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n}$ равно нулю, так как точка $M_1$ лежит в плоскости $\alpha$.

Второе слагаемое $t(\vec{d} \cdot \vec{n})$ также равно нулю, поскольку мы ранее доказали, что $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$.

Таким образом, сумма равна $0 + t \cdot 0 = 0$.

Мы показали, что для любого значения параметра $t$ соответствующая точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости. Это означает, что каждая точка прямой $a$ принадлежит плоскости $\alpha$, то есть прямая целиком лежит в этой плоскости.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то ее направляющий вектор ортогонален нормали плоскости. Так как, по условию, на прямой есть хотя бы одна точка, принадлежащая плоскости, то и все остальные точки прямой также принадлежат этой плоскости. Следовательно, прямая лежит в плоскости.