Номер 4, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство:

а) две плоскости;

б) три плоскости;

в)* четыре плоскости.

а) две плоскости;
Чтобы получить наибольшее число частей, плоскости не должны быть параллельны, они должны пересекаться.
Одна плоскость делит пространство на 2 части.
Вторая плоскость, пересекая первую, проходит через обе эти части и делит каждую из них еще на две. Таким образом, количество частей удваивается.
Или, можно рассуждать иначе: вторая плоскость добавляет столько новых частей, на сколько частей она сама разделена линией пересечения с первой плоскостью. Линия пересечения одна, она делит вторую плоскость на 2 части. Значит, к исходным 2 частям пространства добавляется еще 2.
Общее число частей: $2 + 2 = 4$.
Ответ: 4.

б) три плоскости;
Мы уже знаем, что две пересекающиеся плоскости делят пространство на 4 части.
Чтобы третья плоскость создала максимальное количество новых частей, она должна пересечь обе предыдущие плоскости. При этом линии пересечения на ней не должны быть параллельны. Это означает, что все три плоскости не должны проходить через одну общую прямую.
На третьей плоскости образуются две пересекающиеся линии (от пересечения с первыми двумя плоскостями). Эти две линии делят третью плоскость на 4 области.
Каждая из этих 4 областей на третьей плоскости разделяет одну из уже существующих частей пространства на две. Таким образом, третья плоскость добавляет 4 новые части.
Общее число частей: $4$ (от двух плоскостей) $+ 4$ (добавленные третьей) $= 8$.
Классический пример — три взаимно перпендикулярные координатные плоскости, которые делят пространство на 8 октантов.
Ответ: 8.

в)* четыре плоскости.
Исходя из предыдущего пункта, три плоскости делят пространство на 8 частей.
Чтобы четвертая плоскость добавила максимальное число новых частей, она должна пересечь все три предыдущие плоскости. При этом линии пересечения на ней не должны быть параллельны и не должны все пересекаться в одной точке.
На четвертой плоскости образуются три линии пересечения. Чтобы эти три линии разделили плоскость на максимальное число частей, они должны попарно пересекаться в трех разных точках, образуя треугольник.
Максимальное число частей, на которые $k$ прямых делят плоскость, вычисляется по формуле $R(k) = \frac{k(k+1)}{2} + 1$. Для $k=3$ получаем: $R(3) = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{12}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$ частей.
Каждая из этих 7 частей на четвертой плоскости разделяет одну из существующих 8 частей пространства на две. Таким образом, четвертая плоскость добавляет 7 новых частей.
Общее число частей: $8$ (от трех плоскостей) $+ 7$ (добавленные четвертой) $= 15$.
В общем случае, максимальное число $L(n)$ частей, на которые $n$ плоскостей делят пространство, описывается формулой:
$L(n) = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} = \frac{n^3 + 5n + 6}{6}$.
Для $n=4$: $L(4) = \frac{4^3 + 5 \cdot 4 + 6}{6} = \frac{64 + 20 + 6}{6} = \frac{90}{6} = 15$.
Ответ: 15.