Номер 6, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Докажите, что через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость.

Это утверждение, являющееся теоремой стереометрии, доказывается на основе аксиом. Доказательство традиционно состоит из двух частей: доказательства существования такой плоскости и доказательства её единственности.

Пусть нам даны прямая $a$ и точка $M$, которая не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$).

1. Доказательство существования.

На прямой $a$ всегда можно выбрать две различные точки (согласно аксиоме принадлежности). Назовем их $A$ и $B$. Таким образом, у нас есть три точки: $A$, $B$ и $M$.

Докажем, что эти три точки не лежат на одной прямой (неколлинеарны). Точки $A$ и $B$ лежат на прямой $a$. Если предположить, что точка $M$ также лежит на прямой, проходящей через $A$ и $B$, то это будет означать, что точка $M$ принадлежит прямой $a$. Однако это противоречит исходному условию, что $M \notin a$. Следовательно, точки $A$, $B$ и $M$ не лежат на одной прямой.

Согласно основной аксиоме стереометрии: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость, проходящую через точки $A$, $B$ и $M$, как $\alpha$.

Поскольку две точки ($A$ и $B$) прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по следствию из аксиом (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости) вся прямая $a$ также лежит в плоскости $\alpha$. Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ по нашему построению.

Таким образом, мы доказали существование плоскости $\alpha$, которая проходит через прямую $a$ и не принадлежащую ей точку $M$.

2. Доказательство единственности.

Теперь докажем, что такая плоскость может быть только одна. Предположим обратное: пусть существует еще одна плоскость $\beta$, отличная от $\alpha$, которая также проходит через прямую $a$ и точку $M$.

Поскольку плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, она содержит все точки этой прямой, включая наши точки $A$ и $B$. Также, по предположению, плоскость $\beta$ проходит через точку $M$. Это означает, что плоскость $\beta$ проходит через те же три точки $A$, $B$ и $M$, которые, как мы уже доказали, не лежат на одной прямой.

Но согласно той же аксиоме, через три неколлинеарные точки проходит только одна плоскость. Отсюда следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать. Это противоречит нашему предположению о том, что $\beta$ — это другая плоскость.

Следовательно, наше предположение было неверным, и существует только одна плоскость, проходящая через заданную прямую и не лежащую на ней точку.

Ответ: Утверждение доказано. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость. Это следует из аксиомы о том, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Выбрав на прямой две различные точки и добавив к ним заданную точку вне прямой, мы получаем три неколлинеарные точки, которые однозначно определяют плоскость. Любая другая плоскость, проходящая через исходную прямую и точку, должна будет проходить через те же три точки, а значит, совпадать с первой, что доказывает её единственность.