Номер 13, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Может ли призма иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 ребер?

Чтобы определить, может ли призма иметь заданное количество ребер, необходимо знать, как связано количество ребер с типом призмы. У любой n-угольной призмы есть два основания, которые являются n-угольниками, и боковые грани, которые соединяют эти основания.

Количество ребер у одного основания равно $n$.

Количество ребер у второго основания также равно $n$.

Количество боковых ребер, соединяющих вершины оснований, равно $n$.

Следовательно, общее количество ребер (обозначим его как $Р$) у n-угольной призмы вычисляется по формуле: $Р = n + n + n = 3n$, где $n$ — это количество вершин (или сторон) многоугольника в основании. Поскольку многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны (треугольник), то $n$ должно быть целым числом, и $n \ge 3$.

Из формулы $Р = 3n$ следует, что общее количество ребер у любой призмы всегда должно быть кратно 3.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

а) 9 ребер

Проверим, может ли призма иметь 9 ребер. Для этого нужно выяснить, существует ли такое целое число $n \ge 3$, что $3n = 9$.

$n = 9 / 3 = 3$

Число $n=3$ является целым и удовлетворяет условию $n \ge 3$. Это означает, что призма, в основании которой лежит треугольник (треугольная призма), будет иметь 9 ребер.

Ответ: да, может.

б) 10 ребер

Проверим, может ли призма иметь 10 ребер. Для этого число 10 должно делиться на 3 нацело.

$10 / 3 = 3.33...$

Поскольку 10 не делится на 3 без остатка, не существует целого числа $n$, для которого $3n = 10$. Следовательно, призма не может иметь 10 ребер.

Ответ: нет, не может.

в) 12 ребер

Проверим, может ли призма иметь 12 ребер. Найдем $n$ из уравнения $3n = 12$.

$n = 12 / 3 = 4$

Число $n=4$ является целым и удовлетворяет условию $n \ge 3$. Это означает, что призма, в основании которой лежит четырехугольник (четырехугольная призма), будет иметь 12 ребер.

Ответ: да, может.

г) 15 ребер

Проверим, может ли призма иметь 15 ребер. Найдем $n$ из уравнения $3n = 15$.

$n = 15 / 3 = 5$

Число $n=5$ является целым и удовлетворяет условию $n \ge 3$. Это означает, что призма, в основании которой лежит пятиугольник (пятиугольная призма), будет иметь 15 ребер.

Ответ: да, может.