Номер 15, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Может ли призма иметь:
а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 граней?

Для того чтобы определить, может ли призма иметь заданное количество граней, необходимо понять, как это количество связано со строением призмы.

Любая призма имеет два основания, которые являются равными многоугольниками, и боковые грани, которые являются параллелограммами. Количество боковых граней равно количеству сторон многоугольника в основании.

Пусть в основании призмы лежит $n$-угольник. Тогда у призмы будет $n$ боковых граней и 2 основания. Общее число граней $F$ можно найти по формуле: $F = n + 2$

Поскольку $n$ — это количество сторон многоугольника, оно должно быть целым числом, не меньшим 3 (самый простой многоугольник — это треугольник), то есть $n \ge 3$. Соответственно, общее число граней призмы $F$ должно быть целым числом, не меньшим чем $3 + 2 = 5$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов, используя формулу $n = F - 2$.

а) 9 граней
Проверим, может ли призма иметь 9 граней. Пусть общее число граней $F = 9$. Найдем число сторон многоугольника в основании $n$.
$n = F - 2 = 9 - 2 = 7$.
Поскольку $n=7$ является целым числом и удовлетворяет условию $n \ge 3$, то призма с 9 гранями существует. Это семиугольная призма.
Ответ: да, может.

б) 10 граней
Проверим, может ли призма иметь 10 граней. Пусть $F = 10$.
$n = F - 2 = 10 - 2 = 8$.
Поскольку $n=8$ является целым числом и удовлетворяет условию $n \ge 3$, то призма с 10 гранями существует. Это восьмиугольная призма.
Ответ: да, может.

в) 12 граней
Проверим, может ли призма иметь 12 граней. Пусть $F = 12$.
$n = F - 2 = 12 - 2 = 10$.
Поскольку $n=10$ является целым числом и удовлетворяет условию $n \ge 3$, то призма с 12 гранями существует. Это десятиугольная призма.
Ответ: да, может.

г) 15 граней
Проверим, может ли призма иметь 15 граней. Пусть $F = 15$.
$n = F - 2 = 15 - 2 = 13$.
Поскольку $n=13$ является целым числом и удовлетворяет условию $n \ge 3$, то призма с 15 гранями существует. Это тринадцатиугольная призма.
Ответ: да, может.