Номер 1.22, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.22 Найдите площади поверхностей деталей, составленных из прямоугольных параллелепипедов, изображенных на рисунке 1.17.

а)

б)

Рис. 1.17

а) Площадь поверхности детали можно найти, сложив площади всех ее граней. Деталь представляет собой прямоугольный параллелепипед с внешними размерами 3x4x4, из которого сверху вырезан паз (углубление) размером 1x4x2.
Найдем площади отдельных частей поверхности и сложим их:
1. Площадь передней и задней граней. Каждая из них представляет собой прямоугольник размером 3x4, из которого вверху вырезана область размером 1x2. Площадь одной такой грани равна $3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 12 - 2 = 10$. Так как граней две, их общая площадь:
$S_{1} = 2 \cdot 10 = 20$.
2. Площадь боковых внешних граней (левой и правой). Это два одинаковых прямоугольника размером 4x4. Их общая площадь:
$S_{2} = 2 \cdot (4 \cdot 4) = 2 \cdot 16 = 32$.
3. Площадь нижней грани. Это прямоугольник размером 3x4.
$S_{3} = 3 \cdot 4 = 12$.
4. Площадь верхней грани. Она состоит из двух прямоугольных "плечиков" по бокам от паза, каждый размером 1x4. Их общая площадь:
$S_{4} = 2 \cdot (1 \cdot 4) = 8$.
5. Площадь внутренней поверхности паза. Она состоит из двух боковых стенок размером 2x4 и дна размером 1x4.
$S_{5} = 2 \cdot (2 \cdot 4) + (1 \cdot 4) = 16 + 4 = 20$.
6. Общая площадь поверхности детали равна сумме всех этих площадей:
$S_{общ} = S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} + S_{5} = 20 + 32 + 12 + 8 + 20 = 92$.
Ответ: 92.

б) Данная деталь — это куб с ребром 4, через который проделано сквозное квадратное отверстие со стороной 2. Площадь ее поверхности можно найти, вычислив площадь поверхности исходного куба, вычтя из нее площади вырезанных на входе и выходе отверстий и прибавив площадь образовавшейся внутренней поверхности.
1. Найдем площадь поверхности исходного куба с ребром $a = 4$.
$S_{куб} = 6a^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96$.
2. При создании сквозного отверстия с передней и задней граней куба удаляются два квадрата со стороной 2. Найдем их общую площадь (площадь "потерянной" поверхности).
$S_{потерянная} = 2 \cdot (2 \cdot 2) = 2 \cdot 4 = 8$.
3. Внутри детали образуется новая поверхность — стенки внутреннего "туннеля". Это четыре прямоугольника, каждый размером 2x4 (где 2 - сторона внутреннего квадрата, 4 - глубина детали). Найдем их общую площадь (площадь "добавленной" поверхности).
$S_{добавленная} = 4 \cdot (2 \cdot 4) = 4 \cdot 8 = 32$.
4. Общая площадь поверхности детали равна площади исходного куба минус площадь потерянной поверхности плюс площадь добавленной поверхности.
$S_{общ} = S_{куб} - S_{потерянная} + S_{добавленная} = 96 - 8 + 32 = 120$.
Ответ: 120.