Номер 1.26, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.26. На рисунке 1.21 изображено поперечное сечение канала. Дно и стенки канала забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?

Из рисунка 1.21 известны следующие размеры поперечного сечения канала:

Ширина по верху: 25 м

Ширина по дну: 7 м

Высота: 5 м

Длина наклонной стенки ($L_{\text{стенки}}$) может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, где горизонтальная проекция стенки составляет $\frac{25-7}{2}$ м:

$L_{\text{стенки}} = \sqrt{H^2 + \left(\frac{B_{\text{верх}} - B_{\text{дно}}}{2}\right)^2}$

Периметр, подлежащий бетонированию ($P$), включает ширину дна и длины двух наклонных стенок:

$P = B_{\text{дно}} + 2 \cdot L_{\text{стенки}}$

Площадь, которую нужно покрыть бетоном на каждый километр канала ($A$), равна найденному периметру, умноженному на 1 километр (1000 метров):

$A = P \cdot 1000 \, \text{м}$

Рис. 1.21

Для решения задачи необходимо найти площадь поверхности, которую нужно покрыть бетоном. Эта поверхность состоит из дна и двух боковых стенок канала на протяжении 1 километра. Площадь можно найти, умножив периметр поперечного сечения, подлежащего бетонированию, на длину канала.

Поперечное сечение канала представляет собой равнобедренную трапецию со следующими размерами:

• Верхнее основание (ширина по верху): $a = 25$ м.
• Нижнее основание (ширина дна): $b = 7$ м.
• Высота канала: $h = 5$ м.

Сначала найдем длину одной боковой стенки (боковой стороны трапеции), обозначим ее как $c$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h$, боковой стороной $c$ (которая будет гипотенузой) и катетом, равным половине разности оснований трапеции.

Длина этого горизонтального катета $x$ равна:$x = \frac{a - b}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ м.

Теперь по теореме Пифагора найдем длину боковой стенки $c$:$c = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{5^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106}$ м.

Периметр сечения, который нужно покрыть бетоном, $P_{бетон}$, состоит из дна и двух боковых стенок:$P_{бетон} = b + 2c = 7 + 2\sqrt{106}$ м.

Теперь вычислим общую площадь $S$, которую нужно забетонировать на протяжении 1 км. Переведем длину канала в метры: $L = 1 \text{ км} = 1000$ м.

Площадь равна произведению периметра бетонируемой части на длину канала:$S = P_{бетон} \times L = (7 + 2\sqrt{106}) \times 1000 = 7000 + 2000\sqrt{106} \text{ м}^2$.

Для получения численного значения вычислим приближенное значение. Так как $\sqrt{106} \approx 10.2956$:$S \approx (7 + 2 \times 10.2956) \times 1000 = (7 + 20.5912) \times 1000 = 27.5912 \times 1000 = 27591.2 \text{ м}^2$.

Ответ: Площадь, которую нужно покрыть бетоном на каждый километр канала, составляет $7000 + 2000\sqrt{106} \text{ м}^2$, что приблизительно равно $27591.2 \text{ м}^2$.