Страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какой многогранник называется пирамидой?

2. Какая пирамида называется правильной?

3. Что называется высотой пирамиды?

4. Какой многогранник называется усеченной пирамидой?

5. Какая усеченная пирамида называется правильной?

6. Что называется высотой усеченной пирамиды?

7. Как находится площадь поверхности пирамиды?

8. Как находится площадь поверхности усеченной пирамиды?

1. Какой многогранник называется пирамидой?Пирамида — это многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды. Боковые ребра — это отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания.Ответ:

2. Какая пирамида называется правильной?Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник (у которого все стороны и углы равны), а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника. Следствиями этого определения являются следующие свойства правильной пирамиды: все боковые ребра равны, а все боковые грани — равные между собой равнобедренные треугольники.Ответ:

3. Что называется высотой пирамиды?Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость ее основания. Длина этого перпендикуляра также называется высотой.Ответ:

4. Какой многогранник называется усеченной пирамидой?Усеченной пирамидой называется многогранник, заключенный между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной ее основанию. Иначе говоря, это часть пирамиды, которая остается после того, как от нее отсекли "верхушку" плоскостью, параллельной основанию. Усеченная пирамида имеет два основания (нижнее и верхнее), которые являются подобными многоугольниками, а ее боковые грани — трапеции.Ответ:

5. Какая усеченная пирамида называется правильной?Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды (то есть получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию). У правильной усеченной пирамиды основаниями являются правильные многоугольники, а боковыми гранями — равные равнобедренные трапеции.Ответ:

6. Что называется высотой усеченной пирамиды?Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между плоскостями ее двух оснований. Это длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одного основания к плоскости другого основания.Ответ:

7. Как находится площадь поверхности пирамиды?Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади ее основания ($S_{осн}$) и площади ее боковой поверхности ($S_{бок}$), которая, в свою очередь, является суммой площадей всех ее боковых граней (треугольников).
Общая формула: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
Для правильной пирамиды площадь боковой поверхности можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$, где $P$ — периметр основания, а $a$ — апофема (высота боковой грани).Ответ:

8. Как находится площадь поверхности усеченной пирамиды?Площадь полной поверхности усеченной пирамиды ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей ее двух оснований (нижнего $S_1$ и верхнего $S_2$) и площади ее боковой поверхности ($S_{бок}$), которая является суммой площадей всех ее боковых граней (трапеций).
Общая формула: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$.
Для правильной усеченной пирамиды площадь боковой поверхности можно найти по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $a$ — апофема (высота боковой грани).Ответ:

2.1. На листе бумаги в клетку изобразите пирамиды, аналогичные данным на рисунке 2.5.

Рис. 2.5

Для того чтобы изобразить пирамиды, аналогичные данным на рисунке, на листе бумаги в клетку, необходимо определить координаты их вершин и следовать инструкциям по построению. Примем, что одна клетка на бумаге соответствует единице длины в системе координат, начало которой $(0, 0)$ находится в левом нижнем углу сетки.

а)

Изображение 'а)' представляет собой четырехугольную пирамиду с некоторыми особенностями в отображении невидимых линий. Для ее построения необходимо выполнить следующие шаги.

Сначала определим координаты ключевых точек на сетке:

- Вершина пирамиды: $S(4, 7)$.
- Видимые вершины основания: $A(1, 1)$, $B(7, 1)$, $C(8, 2)$.
- Вспомогательная точка, в которой сходятся пунктирные линии: $P(4, 4)$. Эта точка также является скрытой вершиной основания.

Процесс построения:

1. Нанесите на бумагу в клетку точки $S(4, 7)$, $A(1, 1)$, $B(7, 1)$, $C(8, 2)$ и $P(4, 4)$.

2. Соедините сплошными линиями видимые ребра пирамиды. Это ребра, которые находятся на переднем плане и не перекрываются другими частями фигуры.

- Соедините точки $A(1, 1)$ и $B(7, 1)$, чтобы получить ребро основания $AB$.

- Соедините точки $B(7, 1)$ и $C(8, 2)$, чтобы получить ребро основания $BC$.

- Соедините вершину $S(4, 7)$ с вершинами основания $A(1, 1)$, $B(7, 1)$ и $C(8, 2)$, чтобы получить боковые ребра $SA$, $SB$ и $SC$.

3. Изобразите пунктирными (штриховыми) линиями невидимые ребра и другие элементы, как на рисунке:

- Соедините вершину $S(4, 7)$ с точкой $P(4, 4)$. Это невидимое боковое ребро $SP$.

- Соедините вершину основания $A(1, 1)$ с точкой $P(4, 4)$. Это невидимое ребро основания $AP$.

- На рисунке также присутствует горизонтальная пунктирная линия, исходящая из точки $P(4, 4)$ вправо. Она заканчивается на видимом ребре $SC$. Чтобы воспроизвести рисунок, проведите пунктирную линию от точки $P(4, 4)$ до точки пересечения с ребром $SC$. Эта точка пересечения имеет координаты примерно $(6.4, 4)$. Для простоты можно провести пунктирный отрезок длиной в 2-3 клетки вправо от точки $P$.

Ответ: Для изображения пирамиды 'а)' нужно отметить на клетчатой бумаге точки $S(4, 7)$, $A(1, 1)$, $B(7, 1)$, $C(8, 2)$ и $P(4, 4)$. Затем ребра $SA, SB, SC, AB, BC$ соединить сплошными линиями. Линии $SP, AP$ и горизонтальную линию из точки $P$ до ребра $SC$ изобразить пунктиром.

б)

Изображение 'б)' представляет собой классическую четырехугольную пирамиду, все вершины которой расположены в узлах координатной сетки. Это делает ее построение более простым и однозначным.

Координаты вершин пирамиды:

- Вершина пирамиды: $S(5, 8)$.
- Вершины основания: $A(2, 1)$, $B(8, 1)$, $C(9, 3)$ и $D(1, 3)$.

Процесс построения:

1. Нанесите на бумагу в клетку все пять вершин пирамиды: $S(5, 8)$, $A(2, 1)$, $B(8, 1)$, $C(9, 3)$ и $D(1, 3)$.

2. Соедините сплошными линиями видимые ребра пирамиды. С точки зрения наблюдателя, находящегося спереди и снизу, это будут следующие ребра:

- Ребра основания $AB$ (соединяет $A(2, 1)$ и $B(8, 1)$) и $BC$ (соединяет $B(8, 1)$ и $C(9, 3)$).

- Боковые ребра $SA$ (соединяет $S(5, 8)$ и $A(2, 1)$), $SB$ (соединяет $S(5, 8)$ и $B(8, 1)$) и $SC$ (соединяет $S(5, 8)$ и $C(9, 3)$).

3. Соедините пунктирными линиями невидимые ребра пирамиды. Это ребра, которые находятся сзади или внутри фигуры:

- Ребра основания $AD$ (соединяет $A(2, 1)$ и $D(1, 3)$) и $CD$ (соединяет $C(9, 3)$ и $D(1, 3)$).

- Боковое ребро $SD$ (соединяет $S(5, 8)$ и $D(1, 3)$).

Следуя этим шагам, вы получите точную копию пирамиды, показанной на рисунке 'б)'.

Ответ: Для изображения пирамиды 'б)' необходимо отметить на клетчатой бумаге точки $S(5, 8)$, $A(2, 1)$, $B(8, 1)$, $C(9, 3)$ и $D(1, 3)$. Затем видимые ребра ($SA, SB, SC, AB, BC$) соединить сплошными линиями, а невидимые ребра ($SD, AD, CD$) — пунктирными.

2.2 На рисунке 2.6 укажите пирамиды.

а)

б)

Рис. 2.6

в)

Для того чтобы определить, какие из представленных на рисунке 2.6 фигур являются пирамидами, необходимо вспомнить определение пирамиды. Пирамида — это многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, является произвольным многоугольником, а все остальные грани, называемые боковыми, — это треугольники, имеющие общую вершину.

Проанализируем каждую из фигур, изображенных на рисунке:

а) Данная фигура имеет в основании многоугольник (невыпуклый пятиугольник). Все остальные грани являются треугольниками, сходящимися в одной общей вершине, которая не лежит в плоскости основания. Следовательно, эта фигура полностью соответствует определению пирамиды.

б) Эта фигура называется бипирамидой. Она состоит из двух пирамид с общим основанием. У этого многогранника есть две вершины, расположенные по разные стороны от общего основания (четырёхугольника). Поскольку у классической пирамиды должна быть только одна вершина и одно основание, эта фигура не является пирамидой.

в) Эта фигура называется усечённой пирамидой. Она получается, когда верхнюю часть пирамиды отсекают плоскостью, параллельной её основанию. В результате у фигуры образуются два основания (верхнее и нижнее), и у неё нет вершины. Таким образом, эта фигура не является пирамидой.

Таким образом, из трёх представленных фигур только фигура под буквой а) является пирамидой. Множественное число в формулировке вопроса ("укажите пирамиды") может быть использовано как общее указание для подобных задач или является неточностью, так как согласно строгим определениям, пирамидой является только одна фигура.

Ответ: пирамидой является фигура а).

2.3 Среди данных на рисунке 2.7 разверток найдите развертки пирамид. Выясните их вид.

a)

б)

в)

г)

Рис. 2.7

а) Эта развертка состоит из одного квадрата и четырех треугольников. При сворачивании этой развертки квадрат будет служить основанием пирамиды, а четыре треугольника станут ее боковыми гранями, которые сойдутся в одной общей вершине. Поскольку в основании лежит четырехугольник (квадрат), данная фигура является четырехугольной пирамидой.
Ответ: является разверткой четырехугольной пирамиды.

б) Эта развертка состоит из трех прямоугольников и двух треугольников. При сворачивании такой фигуры прямоугольники образуют боковую поверхность, а два треугольника станут параллельными основаниями. Тело, ограниченное двумя равными и параллельными многоугольниками (основаниями) и параллелограммами (боковыми гранями), называется призмой. В данном случае это треугольная призма.
Ответ: не является разверткой пирамиды (это развертка треугольной призмы).

в) Эта развертка состоит из четырех треугольников. Если один из треугольников принять за основание, то три других при сворачивании образуют боковые грани, сходящиеся в одной вершине. Таким образом, эта фигура является пирамидой. Так как в основании лежит треугольник, это треугольная пирамида, также известная как тетраэдр.
Ответ: является разверткой треугольной пирамиды.

г) Данная развертка состоит из фигур разного вида: треугольников, трапеции и пятиугольника. У пирамиды все боковые грани должны быть треугольниками, сходящимися в одной вершине, и их количество должно совпадать с количеством сторон многоугольника в основании. Данная комбинация фигур не может образовать пирамиду при сворачивании.
Ответ: не является разверткой пирамиды.