Страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Чему равно число вершин, ребер и граней: а) $n$-угольной призмы; б) $n$-угольной пирамиды?

2. Сформулируйте теорему Эйлера.

3. Когда она была доказана?

4. Что изучает топология?

1. а) n-угольной призмы. У n-угольной призмы два основания, каждое из которых — n-угольник. Вершины (В): Каждое из двух оснований имеет $n$ вершин, поэтому общее число вершин: $В = 2n$. Ребра (Р): Каждое основание имеет $n$ ребер, и еще $n$ боковых ребер соединяют основания. Общее число ребер: $Р = n + n + n = 3n$. Грани (Г): Призма имеет два основания и $n$ боковых граней. Общее число граней: $Г = n+2$. Ответ: В $n$-угольной призме $2n$ вершин, $3n$ ребер и $n+2$ граней.

б) n-угольной пирамиды. У n-угольной пирамиды одно n-угольное основание и вершина (апекс), в которой сходятся боковые ребра. Вершины (В): $n$ вершин в основании плюс одна вершина-апекс, итого: $В = n+1$. Ребра (Р): $n$ ребер в основании плюс $n$ боковых ребер, идущих к апексу, итого: $Р = n+n = 2n$. Грани (Г): Одно основание плюс $n$ треугольных боковых граней, итого: $Г = n+1$. Ответ: В $n$-угольной пирамиде $n+1$ вершина, $2n$ ребер и $n+1$ грань.

2. Теорема Эйлера для многогранников устанавливает фундаментальное соотношение между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника. Она утверждает, что для любого такого многогранника сумма числа вершин и числа граней на два больше числа его ребер. Математически это выражается формулой: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — это число вершин, $Р$ — число рёбер, а $Г$ — число граней. Это соотношение не зависит от формы или размера многогранника, а только от его топологической структуры (того, что он гомеоморфен сфере). Ответ: Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение $В - Р + Г = 2$, где $В$ — количество вершин, $Р$ — количество рёбер, а $Г$ — количество граней.

3. Теорема была впервые сформулирована и опубликована выдающимся математиком Леонардом Эйлером в 1758 году в его работе «Elementa doctrinae solidorum». Однако доказательство, предложенное Эйлером, содержало пробелы и не было полностью строгим с точки зрения современной математики. Первое полное и строгое доказательство теоремы было дано французским математиком Адриеном-Мари Лежандром в 1794 году, который использовал для этого методы сферической геометрии. Ответ: Теорема была сформулирована Леонардом Эйлером в 1758 году, а первое строгое доказательство было предоставлено Адриеном-Мари Лежандром в 1794 году.

4. Топология — это важный раздел математики, который изучает те свойства геометрических объектов (называемых топологическими пространствами), которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Такие деформации можно представить как растяжение, скручивание или изгибание объекта без его разрывов или склеивания отдельных частей. Из-за этого топологию часто в популярной литературе называют «геометрией на резиновом листе». Основные свойства, которые изучает топология, — это непрерывность, связность (состоит ли объект из одного куска), компактность и наличие «дыр». Классический пример, иллюстрирующий суть топологии, заключается в том, что кофейная чашка с ручкой с топологической точки зрения эквивалентна (гомеоморфна) бублику (тору), так как оба объекта имеют одно отверстие и один можно непрерывно преобразовать в другой. Ответ: Топология изучает свойства пространств и фигур, которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких как растяжение и изгибание, но без разрывов и склеиваний.

3.1. У выпуклого многогранника 6 вершин и 12 ребер. Сколько у него граней?

3.1. Для нахождения количества граней выпуклого многогранника воспользуемся формулой Эйлера для многогранников. Эта формула связывает число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) любого выпуклого многогранника.

Формула Эйлера имеет вид: $В - Р + Г = 2$.

В условии задачи даны следующие значения:

Количество вершин $В = 6$.

Количество ребер $Р = 12$.

Подставим известные значения в формулу и найдем количество граней Г:

$6 - 12 + Г = 2$

Выполним вычисления:

$-6 + Г = 2$

Перенесем -6 в правую часть уравнения:

$Г = 2 + 6$

$Г = 8$

Следовательно, у данного многогранника 8 граней.

Ответ: 8.

3.2. У выпуклого многогранника 8 вершин и 6 граней. Сколько у него ребер?

3.2. Для решения данной задачи используется теорема Эйлера для выпуклых многогранников. Она связывает количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) следующей формулой:

$В - Р + Г = 2$

По условию задачи, нам даны следующие значения:

Количество вершин $В = 8$.

Количество граней $Г = 6$.

Нам необходимо найти количество рёбер Р.

Подставим известные значения в формулу Эйлера:

$8 - Р + 6 = 2$

Теперь упростим полученное уравнение, сложив числа в левой части:

$14 - Р = 2$

Из этого уравнения выразим Р:

$Р = 14 - 2$

$Р = 12$

Следовательно, у данного многогранника 12 рёбер. Примером такого многогранника является куб.

Ответ: 12

3.3. У выпуклого многогранника 9 ребер и 5 граней. Сколько у него вершин?

3.3. Для решения этой задачи используется формула Эйлера для выпуклых многогранников. Она связывает количество вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) следующим соотношением:

$В - Р + Г = 2$

Из условия задачи нам известны следующие данные:

Количество ребер $Р = 9$.

Количество граней $Г = 5$.

Необходимо найти количество вершин В. Для этого подставим известные значения в формулу Эйлера:

$В - 9 + 5 = 2$

Теперь выполним вычисления, чтобы упростить уравнение:

$В - 4 = 2$

Чтобы найти В, перенесем 4 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$В = 2 + 4$

$В = 6$

Таким образом, у данного выпуклого многогранника 6 вершин. Примером такого многогранника является треугольная призма (у нее 2 треугольных и 3 четырехугольных грани, итого 5 граней; 9 ребер и 6 вершин).

Ответ: 6.