Страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.19. На листе бумаги в клетку изобразите октаэдр аналогично данному на рисунке 4.2. Отметьте центры граней октаэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного октаэдра равны 1 см.

Для решения задачи рассмотрим правильный октаэдр — многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником.

Вершинами какого многогранника они являются?
Процесс соединения центров граней правильного многогранника порождает другой правильный многогранник, который называется двойственным (или дуальным) к исходному. У правильного октаэдра 8 граней (равносторонние треугольники) и 6 вершин. У двойственного ему многогранника количество вершин будет равно количеству граней исходного (8), а количество граней — количеству вершин исходного (6). Многогранник с 8 вершинами и 6 квадратными гранями — это куб (правильный гексаэдр). Следовательно, центры граней октаэдра являются вершинами куба.
Ответ: Центры граней октаэдра являются вершинами куба.

Найдите его ребро, если ребра исходного октаэдра равны 1 см.
Длина ребра полученного куба равна расстоянию между центрами двух любых соседних граней исходного октаэдра. Пусть ребро октаэдра равно $a = 1$ см.
Для нахождения этого расстояния удобно расположить октаэдр в декартовой системе координат так, чтобы его центр совпал с началом координат, а его шесть вершин лежали на осях на одинаковом расстоянии $L$ от центра. Координаты вершин будут: $(\pm L, 0, 0)$, $(0, \pm L, 0)$, $(0, 0, \pm L)$.
Найдем связь между параметром $L$ и длиной ребра октаэдра $a$. Ребро — это отрезок, соединяющий две соседние вершины, например, $V_1(L, 0, 0)$ и $V_2(0, L, 0)$. Найдем расстояние между ними по формуле:
$a = \sqrt{(L-0)^2 + (0-L)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{L^2 + L^2} = \sqrt{2L^2} = L\sqrt{2}$.
Отсюда выразим $L$: $L = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Поскольку по условию $a = 1$ см, то $L = \frac{1}{\sqrt{2}}$ см.
Теперь найдем координаты центров двух соседних граней. Центр грани, являющейся равносторонним треугольником, совпадает с ее центроидом. Координаты центроида равны среднему арифметическому координат вершин.
Рассмотрим грань с вершинами $V_1(L, 0, 0)$, $V_2(0, L, 0)$ и $V_3(0, 0, L)$. Координаты ее центра $C_1$:
$C_1 = \left(\frac{L+0+0}{3}, \frac{0+L+0}{3}, \frac{0+0+L}{3}\right) = \left(\frac{L}{3}, \frac{L}{3}, \frac{L}{3}\right)$.
Рассмотрим соседнюю с ней грань с вершинами $V_1(L, 0, 0)$, $V_4(0, -L, 0)$ и $V_3(0, 0, L)$. Эти грани имеют общее ребро $V_1V_3$. Координаты центра второй грани $C_2$:
$C_2 = \left(\frac{L+0+0}{3}, \frac{0-L+0}{3}, \frac{0+0+L}{3}\right) = \left(\frac{L}{3}, -\frac{L}{3}, \frac{L}{3}\right)$.
Длина ребра куба $b$ — это расстояние между точками $C_1$ и $C_2$:
$b = \sqrt{\left(\frac{L}{3}-\frac{L}{3}\right)^2 + \left(\frac{L}{3}-\left(-\frac{L}{3}\right)\right)^2 + \left(\frac{L}{3}-\frac{L}{3}\right)^2} = \sqrt{0^2 + \left(\frac{2L}{3}\right)^2 + 0^2} = \frac{2L}{3}$.
Теперь подставим ранее найденное выражение для $L$: $L = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$b = \frac{2}{3} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2a}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot a}{3\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Так как по условию $a = 1$ см, ребро куба равно:
$b = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$ см.

4.20. На листе бумаги в клетку изобразите икосаэдр аналогично данному на рисунке 4.3. Отметьте центры граней икосаэдра. Вершинами какого многогранника они являются?

Задача состоит из практической части (построение икосаэдра и отметка центров его граней) и теоретической (определение полученного многогранника). Поскольку в текстовом формате невозможно выполнить построение на бумаге, предоставим развернутое решение для теоретического вопроса.

Вершинами какого многогранника они являются?

Процесс, описанный в задаче, — это построение двойственного (или дуального) многогранника. Двойственный многогранник строится путем размещения вершин в центрах граней исходного многогранника и их последующего соединения.

Исходный многогранник — это икосаэдр. Это правильный многогранник, один из пяти платоновых тел. Его свойства:

• Количество граней (правильные треугольники): $F_{икосаэдр} = 20$.

• Количество вершин: $V_{икосаэдр} = 12$. В каждой вершине сходится 5 граней.

• Количество ребер: $E_{икосаэдр} = 30$.

Для двойственного многогранника ($M$) количество вершин и граней меняется местами по сравнению с исходным, а количество ребер остается тем же:

• Количество вершин многогранника $M$ будет равно количеству граней икосаэдра: $V_M = F_{икосаэдр} = 20$.

• Количество граней многогранника $M$ будет равно количеству вершин икосаэдра: $F_M = V_{икосаэдр} = 12$.

• Количество ребер остается неизменным: $E_M = E_{икосаэдр} = 30$.

Теперь определим форму граней многогранника $M$. Каждая грань двойственного многогранника формируется вокруг одной из вершин исходного. В каждой вершине икосаэдра сходятся 5 треугольных граней. Центры этих пяти граней образуют вершины одной грани многогранника $M$. Следовательно, каждая грань $M$ является пятиугольником. Так как икосаэдр — правильный многогранник, его двойственный многогранник также будет правильным, а его грани — правильными пятиугольниками.

Правильный многогранник, имеющий 12 граней в виде правильных пятиугольников, 20 вершин и 30 ребер, называется додекаэдром. Додекаэдр также является платоновым телом и двойственен икосаэдру.

Таким образом, точки, являющиеся центрами граней икосаэдра, служат вершинами додекаэдра.

Ответ: Центры граней икосаэдра являются вершинами додекаэдра.

4.21. На листе бумаги в клетку изобразите додекаэдр аналогично данному на рисунке 4.5. Отметьте центры граней додекаэдра. Вершинами какого многогранника они являются?

На листе бумаги в клетку изобразите додекаэдр аналогично данному на рисунке 4.5.

Решение для этого и следующего пункта представлено на рисунке ниже. Додекаэдр — это один из пяти правильных многогранников (Платоновых тел), состоящий из 12 граней, каждая из которых является правильным пятиугольником. Для его изображения на плоскости используется перспективная проекция. На рисунке показан додекаэдр, где сплошные линии обозначают видимые ребра, а пунктирные — скрытые от наблюдателя.

Ответ: Изображение додекаэдра представлено на рисунке ниже.

Отметьте центры граней додекаэдра.

Центр грани — это ее геометрический центр. На представленном ниже рисунке центры всех 12 граней додекаэдра отмечены красными точками. Если соединить эти точки, как показано синими линиями, можно увидеть очертания нового многогранника.

Ответ: Центры граней отмечены на рисунке красными точками.

Вершинами какого многогранника они являются?

Точки, являющиеся центрами граней додекаэдра, образуют вершины нового многогранника. Процесс построения нового многогранника путем соединения центров граней исходного называется построением двойственного (или дуального) многогранника. Давайте определим, что это за многогранник.

1. Вершины. Исходный многогранник, додекаэдр, имеет $F_Д = 12$ граней. Каждая грань порождает одну вершину в двойственном многограннике. Следовательно, новый многогранник будет иметь 12 вершин.

2. Грани. В каждой вершине додекаэдра сходятся 3 грани (и 3 ребра). Если мы соединим центры этих трех соседних граней, мы получим треугольник. Этот треугольник и будет гранью двойственного многогранника. Так как у додекаэдра $V_Д = 20$ вершин, двойственный многогранник будет иметь 20 треугольных граней.

3. Ребра. Каждое ребро додекаэдра разделяет две смежные грани. Ребро двойственного многогранника соединяет центры этих двух смежных граней. Таким образом, количество ребер у двойственного многогранника равно количеству ребер у исходного. У додекаэдра $E_Д = 30$ ребер, значит, и у нового многогранника их будет 30.

Итак, мы ищем многогранник, у которого 12 вершин, 20 треугольных граней и 30 ребер. Такой многогранник называется икосаэдром.

Икосаэдр также является одним из пяти Платоновых тел. Додекаэдр и икосаэдр образуют двойственную пару: центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра, и наоборот, центры граней икосаэдра являются вершинами додекаэдра. На рисунке выше синими линиями показан икосаэдр, вписанный в додекаэдр.

Ответ: Вершинами являются вершины икосаэдра.

4.22. Сколько имеется путей длиной $3 \text{ см}$ по ребрам единичного икосаэдра из одной его вершины в противолежащую вершину?

Единичный икосаэдр — это правильный многогранник, у которого все ребра имеют длину 1. В данном случае 1 см. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти количество путей, состоящих из 3 ребер, которые ведут из одной вершины икосаэдра в противолежащую ей вершину.

Икосаэдр имеет 12 вершин, 30 ребер и 20 граней. Каждая вершина соединена с 5 другими, то есть степень каждой вершины равна 5.

Обозначим начальную вершину как $V_0$, а противолежащую ей (антиподальную) вершину как $V_{end}$. Все 12 вершин икосаэдра можно разделить на группы в зависимости от их кратчайшего расстояния (измеряемого в количестве ребер) от $V_0$:

1. Вершины на расстоянии 0 от $V_0$: сама вершина $V_0$ (1 вершина).

2. Вершины на расстоянии 1 от $V_0$: это 5 вершин, непосредственно соединенных с $V_0$ ребром. Обозначим это множество как $S_1$.

3. Вершины на расстоянии 3 от $V_0$: это единственная противолежащая вершина $V_{end}$. Кратчайшее расстояние между противолежащими вершинами икосаэдра как раз равно 3 ребрам.

4. Вершины на расстоянии 2 от $V_0$: это все остальные $12 - 1 - 5 - 1 = 5$ вершин. Обозначим это множество как $S_2$.

Мы ищем количество путей длины 3. Путь длины 3 — это последовательность из четырех вершин $(v_0, v_1, v_2, v_3)$, где $v_0 = V_0$, $v_3 = V_{end}$, и между любыми двумя соседними вершинами в последовательности есть ребро.

Поскольку кратчайшее расстояние от $V_0$ до $V_{end}$ составляет 3 ребра, любой искомый путь длины 3 является кратчайшим. Это означает, что на каждом шаге пути мы должны удаляться от $V_0$. Следовательно, путь не может содержать повторяющихся вершин и должен проходить последовательно через определенные группы вершин:$V_0 \rightarrow v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow V_{end}$, где $v_1 \in S_1$ и $v_2 \in S_2$.

Теперь посчитаем количество таких путей, анализируя каждый шаг:

Шаг 1: Из $V_0$ в вершину из $S_1$.
Из начальной вершины $V_0$ выходит 5 ребер. Каждое из них ведет в одну из 5 вершин множества $S_1$. Таким образом, существует 5 способов сделать первый шаг.

Шаг 2: Из вершины $v_1 \in S_1$ в вершину из $S_2$.
Возьмем любую вершину $v_1$ из множества $S_1$. Степень этой вершины равна 5. Одно ребро соединяет её с $V_0$. Два других ребра соединяют ее с двумя соседними вершинами в $S_1$ (так как 5 соседей $V_0$ образуют на поверхности икосаэдра пятиугольник). Оставшиеся $5 - 1 - 2 = 2$ ребра должны вести к вершинам, которые не являются ни $V_0$, ни вершинами из $S_1$. Это могут быть только вершины из множества $S_2$. Значит, из любой вершины в $S_1$ есть ровно 2 ребра, ведущих в $S_2$. Таким образом, на втором шаге у нас есть 2 варианта.

Шаг 3: Из вершины $v_2 \in S_2$ в $V_{end}$.
По симметрии икосаэдра, множество $S_2$ — это в точности множество 5 вершин, смежных с $V_{end}$. Поэтому каждая вершина $v_2 \in S_2$ соединена с $V_{end}$ ровно одним ребром. Следовательно, на третьем шаге есть только 1 вариант для завершения пути.

Общее количество путей равно произведению числа вариантов на каждом шаге:$N = 5 \times 2 \times 1 = 10$.

Ответ: 10.

4.23. Сколько имеется путей длиной 5 см по ребрам единичного додекаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

Представим единичный додекаэдр в виде графа, где вершины додекаэдра являются вершинами графа, а его ребра — ребрами графа. Длина каждого ребра равна 1 см. Задача состоит в том, чтобы найти количество путей длиной 5 см (т.е. состоящих из 5 ребер) из одной вершины графа в противоположную ей.

Пусть $V_0$ — это стартовая вершина, а $V_A$ — противоположная (антиподальная) ей вершина. Для решения задачи сгруппируем все вершины додекаэдра по их расстоянию (длине кратчайшего пути) от вершины $V_0$. Обозначим множество вершин на расстоянии $k$ как $S_k$. Для додекаэдра это распределение выглядит следующим образом:

- $|S_0| = 1$: одна вершина $V_0$ на расстоянии 0 от себя.
- $|S_1| = 3$: три смежные с $V_0$ вершины на расстоянии 1.
- $|S_2| = 6$: шесть вершин на расстоянии 2.
- $|S_3| = 6$: шесть вершин на расстоянии 3.
- $|S_4| = 3$: три вершины на расстоянии 4.
- $|S_5| = 1$: одна вершина $V_A$ на расстоянии 5.

Сумма мощностей этих множеств $1+3+6+6+3+1=20$ — общее число вершин додекаэдра. Максимальное расстояние от $V_0$ до любой другой вершины равно 5, и это расстояние до противоположной вершины $V_A$.

Поскольку искомые пути имеют длину 5, что совпадает с кратчайшим расстоянием между начальной и конечной точками, все такие пути являются геодезическими (кратчайшими). Это означает, что на каждом шаге пути мы должны удаляться от начальной вершины $V_0$. Любой такой путь $v_0 \to v_1 \to v_2 \to v_3 \to v_4 \to v_5$ должен быть устроен так, что $v_0 = V_0$, $v_5 = V_A$, и каждая промежуточная вершина $v_k$ принадлежит соответствующему множеству $S_k$, то есть находится на расстоянии $k$ от $V_0$.

Подсчитаем количество таких путей, рассматривая количество вариантов на каждом шаге:

1. Из вершины $V_0 \in S_0$ выходит 3 ребра, и все они ведут к вершинам из $S_1$. Таким образом, для первого шага ($v_1$) есть 3 варианта.

2. Из каждой вершины в $S_1$ выходит 3 ребра. Одно из них ведет обратно в $V_0 \in S_0$. Два других ведут к вершинам в $S_2$. Чтобы продолжать удаляться от $V_0$, нужно выбрать одно из этих двух ребер. Таким образом, на втором шаге ($v_2$) есть 2 варианта.

3. Из каждой вершины в $S_2$ также выходит 3 ребра. Одно ведет "назад" к вершине из $S_1$, а два других — "вперед" к вершинам из $S_3$. Следовательно, на третьем шаге ($v_3$) есть 2 варианта.

4. Из каждой вершины в $S_3$ выходит 3 ребра. Два из них ведут "назад" к вершинам из $S_2$, и только одно ребро ведет "вперед" к вершине из $S_4$. Это следует из того, что между $S_2$ и $S_3$ (по 6 вершин в каждом) $6 \times 2 = 12$ ребер, и на каждую вершину из $S_3$ приходится $12/6=2$ ребра, ведущих в $S_2$. Значит, на четвертом шаге ($v_4$) есть только 1 вариант.

5. Аналогично, из каждой вершины в $S_4$ (их 3) выходит 3 ребра. Два из них ведут "назад" к вершинам из $S_3$, и только одно ведет "вперед" к единственной вершине в $S_5$ — к $V_A$. Таким образом, на пятом шаге ($v_5$) есть 1 вариант.

Общее количество путей равно произведению числа вариантов на каждом шаге: $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$.

Ответ: 12

4.24. Повторите определения центральной симметрии и осевой симметрии на плоскости

Центральная симметрия

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) — это вид симметрии, при котором фигура или точка отображается относительно некоторой фиксированной точки, называемой центром симметрии.

Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой и расстояния $AO$ и $OA'$ равны. Сам центр симметрии $O$ считается симметричным самому себе. Преобразование, которое каждой точке $A$ сопоставляет симметричную ей точку $A'$, называется центральной симметрией относительно центра $O$.

Фигура называется центрально-симметричной, если она совпадает сама с собой при симметрии относительно некоторой точки. Эта точка называется центром симметрии фигуры. Например, окружность симметрична относительно своего центра, а параллелограмм — относительно точки пересечения его диагоналей.

Центральная симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками.

Ответ: Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование плоскости, при котором любая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Осевая симметрия

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) — это вид симметрии, при котором фигура или точка отображается относительно некоторой фиксированной прямой, называемой осью симметрии.

Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно прямой $l$ (оси симметрии), если прямая $l$ проходит через середину отрезка $AA'$ и перпендикулярна ему. Таким образом, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что должны выполняться два условия: во-первых, отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$ ($AA' \perp l$), и, во-вторых, их точка пересечения является серединой отрезка $AA'$. Если точка $A$ лежит на оси симметрии $l$, то она считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой $l$, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно этой прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая $l$ называется осью симметрии фигуры. Например, у равнобедренного треугольника есть одна ось симметрии, у прямоугольника — две, а у окружности — бесконечно много.

Осевая симметрия также является движением, то есть сохраняет расстояния между точками.

Ответ: Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование плоскости, при котором любая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$.