Номер 4.23, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.23. Сколько имеется путей длиной 5 см по ребрам единичного додекаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

Представим единичный додекаэдр в виде графа, где вершины додекаэдра являются вершинами графа, а его ребра — ребрами графа. Длина каждого ребра равна 1 см. Задача состоит в том, чтобы найти количество путей длиной 5 см (т.е. состоящих из 5 ребер) из одной вершины графа в противоположную ей.

Пусть $V_0$ — это стартовая вершина, а $V_A$ — противоположная (антиподальная) ей вершина. Для решения задачи сгруппируем все вершины додекаэдра по их расстоянию (длине кратчайшего пути) от вершины $V_0$. Обозначим множество вершин на расстоянии $k$ как $S_k$. Для додекаэдра это распределение выглядит следующим образом:

- $|S_0| = 1$: одна вершина $V_0$ на расстоянии 0 от себя.
- $|S_1| = 3$: три смежные с $V_0$ вершины на расстоянии 1.
- $|S_2| = 6$: шесть вершин на расстоянии 2.
- $|S_3| = 6$: шесть вершин на расстоянии 3.
- $|S_4| = 3$: три вершины на расстоянии 4.
- $|S_5| = 1$: одна вершина $V_A$ на расстоянии 5.

Сумма мощностей этих множеств $1+3+6+6+3+1=20$ — общее число вершин додекаэдра. Максимальное расстояние от $V_0$ до любой другой вершины равно 5, и это расстояние до противоположной вершины $V_A$.

Поскольку искомые пути имеют длину 5, что совпадает с кратчайшим расстоянием между начальной и конечной точками, все такие пути являются геодезическими (кратчайшими). Это означает, что на каждом шаге пути мы должны удаляться от начальной вершины $V_0$. Любой такой путь $v_0 \to v_1 \to v_2 \to v_3 \to v_4 \to v_5$ должен быть устроен так, что $v_0 = V_0$, $v_5 = V_A$, и каждая промежуточная вершина $v_k$ принадлежит соответствующему множеству $S_k$, то есть находится на расстоянии $k$ от $V_0$.

Подсчитаем количество таких путей, рассматривая количество вариантов на каждом шаге:

1. Из вершины $V_0 \in S_0$ выходит 3 ребра, и все они ведут к вершинам из $S_1$. Таким образом, для первого шага ($v_1$) есть 3 варианта.

2. Из каждой вершины в $S_1$ выходит 3 ребра. Одно из них ведет обратно в $V_0 \in S_0$. Два других ведут к вершинам в $S_2$. Чтобы продолжать удаляться от $V_0$, нужно выбрать одно из этих двух ребер. Таким образом, на втором шаге ($v_2$) есть 2 варианта.

3. Из каждой вершины в $S_2$ также выходит 3 ребра. Одно ведет "назад" к вершине из $S_1$, а два других — "вперед" к вершинам из $S_3$. Следовательно, на третьем шаге ($v_3$) есть 2 варианта.

4. Из каждой вершины в $S_3$ выходит 3 ребра. Два из них ведут "назад" к вершинам из $S_2$, и только одно ребро ведет "вперед" к вершине из $S_4$. Это следует из того, что между $S_2$ и $S_3$ (по 6 вершин в каждом) $6 \times 2 = 12$ ребер, и на каждую вершину из $S_3$ приходится $12/6=2$ ребра, ведущих в $S_2$. Значит, на четвертом шаге ($v_4$) есть только 1 вариант.

5. Аналогично, из каждой вершины в $S_4$ (их 3) выходит 3 ребра. Два из них ведут "назад" к вершинам из $S_3$, и только одно ведет "вперед" к единственной вершине в $S_5$ — к $V_A$. Таким образом, на пятом шаге ($v_5$) есть 1 вариант.

Общее количество путей равно произведению числа вариантов на каждом шаге: $3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$.

Ответ: 12