Номер 4.16, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.16. Сколько имеется путей длиной 2 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

4.16. Единичный октаэдр — это правильный многогранник, имеющий 6 вершин, 12 ребер и 8 граней в виде равносторонних треугольников. В "единичном" октаэдре длина каждого ребра принимается равной 1. Путь длиной 2 см по ребрам такого октаэдра означает путь, состоящий из двух последовательных ребер, если считать, что единица измерения — сантиметр.

Рассмотрим произвольную вершину октаэдра, назовем ее $A$. У каждой вершины октаэдра есть ровно одна противоположная вершина. Назовем ее $B$. Каждая вершина октаэдра соединена ребрами с четырьмя другими вершинами (степень каждой вершины равна 4).

Нам необходимо найти количество путей длины 2 из вершины $A$ в вершину $B$. Путь длины 2 состоит из двух ребер и имеет вид $A \rightarrow P \rightarrow B$, где $P$ — некоторая промежуточная вершина.

Чтобы попасть из $A$ в $B$ за два шага, мы должны сначала сделать шаг из $A$ в некоторую вершину $P$, а затем из $P$ сделать шаг в $B$.

Первый шаг из $A$ может быть сделан в любую из четырех смежных с $A$ вершин. Обозначим этих соседей $P_1, P_2, P_3, P_4$. Таким образом, существует 4 варианта выбора промежуточной вершины $P$.

Теперь рассмотрим второй шаг. Для каждого выбора промежуточной вершины $P_i$ нам нужно проверить, существует ли ребро, соединяющее $P_i$ и конечную вершину $B$. В структуре октаэдра все четыре вершины, смежные с $A$, также смежны и с противоположной вершиной $B$. Эти четыре вершины образуют "экваториальную" плоскость между полюсами $A$ и $B$.

Таким образом, для каждого из 4-х вариантов выбора первого ребра (например, $A \rightarrow P_1$) существует ровно один вариант для второго ребра ($P_1 \rightarrow B$), который приводит нас к цели. Всего получается 4 различных пути: $A \rightarrow P_1 \rightarrow B$, $A \rightarrow P_2 \rightarrow B$, $A \rightarrow P_3 \rightarrow B$ и $A \rightarrow P_4 \rightarrow B$.

Следовательно, общее количество таких путей равно 4.

Ответ: 4