Номер 4.12, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.12. Изобразите куб аналогично данному на рисунке 4.9. Отметьте центры граней куба. Вершинами какого многогранника они являются? Изобразите этот многогранник. Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Рис. 4.9

Изобразите куб аналогично данному на рисунке 4.9. Отметьте центры граней куба.

Изобразим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ в соответствии с рисунком. Куб имеет 6 граней, и каждая грань является квадратом. Центр грани — это точка пересечения ее диагоналей. Отметим на нашем изображении центры всех шести граней куба.

Вершинами какого многогранника они являются? Изобразите этот многогранник.

Если соединить отрезками центры каждых двух смежных граней куба, то получится новый многогранник, вписанный в исходный куб.

Вершинами этого многогранника являются 6 центров граней исходного куба. Этот многогранник имеет 12 ребер (отрезки, соединяющие центры смежных граней) и 8 граней, каждая из которых является правильным треугольником.

Такой многогранник называется октаэдром. Поскольку все его ребра имеют одинаковую длину (что будет показано в следующем пункте), а грани являются равными равносторонними треугольниками, этот многогранник является правильным октаэдром.

Ответ: центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.

Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Пусть длина ребра исходного куба равна 1. Ребро октаэдра — это отрезок, соединяющий центры двух смежных граней куба. Найдем длину этого ребра.

Рассмотрим две смежные грани, например, верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$ и переднюю грань $ABB_1A_1$. Обозначим их центры как $O_1$ и $O_2$ соответственно. Искомое ребро октаэдра — это длина отрезка $O_1O_2$.

Пусть точка $M$ — это середина общего ребра $A_1B_1$ этих двух граней.

В квадрате $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя грань) расстояние от его центра $O_1$ до середины стороны $M$ равно половине длины стороны квадрата: $O_1M = 1/2$.

Аналогично, в квадрате $ABB_1A_1$ (передняя грань) расстояние от его центра $O_2$ до середины стороны $M$ также равно $O_2M = 1/2$.

Верхняя и передняя грани куба перпендикулярны. Отрезок $O_1M$ лежит в плоскости верхней грани и перпендикулярен ребру $A_1B_1$. Отрезок $O_2M$ лежит в плоскости передней грани и также перпендикулярен ребру $A_1B_1$. Следовательно, угол между отрезками $O_1M$ и $O_2M$ равен $90^\circ$, и треугольник $\triangle O_1MO_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Применим теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $O_1O_2$, которая и является ребром октаэдра (обозначим его длину как $a$).
$a^2 = (O_1M)^2 + (O_2M)^2$
$a^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2$

Извлекая квадратный корень, получаем искомую длину ребра октаэдра:
$a = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.