Номер 4.18, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.18. На листе бумаги в клетку изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 4.10. Отметьте центры граней тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1 см.

Вершинами какого многогранника они являются?
Центры граней исходного правильного тетраэдра образуют вершины нового многогранника. У исходного тетраэдра 4 грани, следовательно, у нового многогранника будет 4 вершины. Многогранник с четырьмя вершинами — это тетраэдр. Докажем, что этот новый тетраэдр также является правильным.
Пусть ребро исходного тетраэдра $ABCD$ равно $a$. Рассмотрим две его грани, например $ABC$ и $ABD$, имеющие общее ребро $AB$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры этих граней. Длина отрезка $O_1O_2$ будет длиной ребра нового тетраэдра.
Центр равностороннего треугольника (грани) совпадает с точкой пересечения его медиан. Пусть $M$ — середина ребра $AB$. Тогда $CM$ и $DM$ — медианы треугольников $ABC$ и $ABD$ соответственно. Центр $O_1$ лежит на медиане $CM$ и делит её в отношении $2:1$, считая от вершины, т.е. $MO_1 = \frac{1}{3}CM$. Аналогично, $O_2$ лежит на $DM$ так, что $MO_2 = \frac{1}{3}DM$.
В треугольнике $CDM$ отрезок $O_1O_2$ соединяет точки на сторонах $CM$ и $DM$. Так как треугольники $ABC$ и $ABD$ равны, то их медианы также равны: $CM = DM$. Треугольник $MCD$ является равнобедренным. Треугольник $MO_1O_2$ подобен треугольнику $MCD$ по двум сторонам и углу между ними, так как $\frac{MO_1}{MC} = \frac{MO_2}{MD} = \frac{1}{3}$ и угол при вершине $M$ у них общий. Из подобия следует, что $O_1O_2 = \frac{1}{3}CD$. Так как $CD = a$, то ребро нового тетраэдра равно $b = \frac{a}{3}$.
Поскольку все ребра исходного тетраэдра равны $a$, то по симметрии все ребра нового тетраэдра будут равны $\frac{a}{3}$. Следовательно, новый многогранник является правильным тетраэдром.
Ответ: Правильный тетраэдр.

Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1 см.
Из предыдущего пункта мы знаем, что ребро нового тетраэдра $b$ и ребро исходного тетраэдра $a$ связаны соотношением $b = \frac{a}{3}$.
По условию, $a = 1$ см. Подставляем это значение в формулу:
$b = \frac{1}{3} \cdot 1 \text{ см} = \frac{1}{3}$ см.
Ответ: $\frac{1}{3}$ см.