Номер 4.17, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.17. Сколько имеется путей длиной 3 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

Для решения этой задачи рассмотрим структуру единичного октаэдра. Единичный октаэдр — это многогранник с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями (треугольниками). Поскольку он "единичный", а длина пути составляет 3 см, мы можем считать, что длина каждого ребра равна 1 см. Таким образом, нам нужно найти количество путей длиной в 3 ребра.

Октаэдр обладает высокой степенью симметрии. Выберем любую вершину в качестве начальной, назовем ее $A$. У нее есть одна противолежащая вершина, назовем ее $B$. Остальные 4 вершины (назовем их $V₁$, $V₂$, $V₃$, $V₄$) находятся на одинаковом расстоянии от $A$ и $B$. Вершина $A$ соединена ребрами с каждой из этих четырех вершин. Аналогично, вершина $B$ также соединена с каждой из этих четырех вершин.

Нам нужно найти путь длиной 3 ребра из $A$ в $B$. Обозначим такой путь как последовательность вершин: $A → P₁ → P₂ → B$, где $P₁$ и $P₂$ — промежуточные вершины.

Рассмотрим шаги для построения такого пути:

Шаг 1: Из начальной вершины $A$.
Вершина $A$ соединена с 4-мя промежуточными вершинами ($V₁$, $V₂$, $V₃$, $V₄$). Значит, для первого шага ($A → P₁$) у нас есть 4 варианта выбора вершины $P₁$.

Шаг 2: Из промежуточной вершины $P₁$.
Предположим, на первом шаге мы перешли в одну из промежуточных вершин, например $V₁$. Теперь нам нужно сделать второй шаг ($P₁ → P₂$). Куда мы можем пойти из $V₁$?

• Мы не можем вернуться в $A$, так как путь $A → V₁ → A → ...$ должен закончиться в $B$ за один шаг. Но $A$ и $B$ не соединены ребром (кратчайший путь между ними — 2 ребра), так что этот вариант невозможен.
• Мы не можем сразу пойти в $B$, так как путь $A → V₁ → B$ имеет длину 2, а нам нужен путь длиной 3.

Следовательно, вершина $P₂$ должна быть другой промежуточной вершиной, соединенной с $P₁$. Каждая из четырех промежуточных вершин ($V₁$, $V₂$, $V₃$, $V₄$) соединена с двумя другими промежуточными вершинами (они образуют "экватор" октаэдра, который является квадратом). Таким образом, из $P₁$ у нас есть 2 варианта выбора для $P₂$.

Шаг 3: Из промежуточной вершины $P₂$ в конечную $B$.
На втором шаге мы перешли в другую промежуточную вершину $P₂$. Каждая из четырех промежуточных вершин соединена ребром с конечной вершиной $B$. Следовательно, из $P₂$ мы гарантированно можем сделать шаг в $B$. Для этого шага у нас есть только 1 вариант.

Теперь, используя правило произведения в комбинаторике, мы можем найти общее число путей. Оно равно произведению числа вариантов на каждом шаге: $N = (\text{число вариантов для шага 1}) \times (\text{число вариантов для шага 2}) \times (\text{число вариантов для шага 3})$ $N = 4 \times 2 \times 1 = 8$

Таким образом, существует 8 различных путей длиной 3 ребра из одной вершины октаэдра в противолежащую.

Ответ: 8.