Номер 4.17, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.17. Сколько имеется путей длиной 3 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

Для решения этой задачи рассмотрим структуру единичного октаэдра. Единичный октаэдр — это многогранник с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями (треугольниками). Поскольку он "единичный", а длина пути составляет 3 см, мы можем считать, что длина каждого ребра равна 1 см. Таким образом, нам нужно найти количество путей длиной в 3 ребра.

Октаэдр обладает высокой степенью симметрии. Выберем любую вершину в качестве начальной, назовем ее `A`. У нее есть одна противолежащая вершина, назовем ее `B`. Остальные 4 вершины (назовем их `V₁`, `V₂`, `V₃`, `V₄`) находятся на одинаковом расстоянии от `A` и `B`. Вершина `A` соединена ребрами с каждой из этих четырех вершин. Аналогично, вершина `B` также соединена с каждой из этих четырех вершин.

Нам нужно найти путь длиной 3 ребра из `A` в `B`. Обозначим такой путь как последовательность вершин: `A → P₁ → P₂ → B`, где `P₁` и `P₂` — промежуточные вершины.

Рассмотрим шаги для построения такого пути:

Шаг 1: Из начальной вершины `A`.
Вершина `A` соединена с 4-мя промежуточными вершинами (`V₁`, `V₂`, `V₃`, `V₄`). Значит, для первого шага (`A → P₁`) у нас есть 4 варианта выбора вершины `P₁`.

Шаг 2: Из промежуточной вершины `P₁`.
Предположим, на первом шаге мы перешли в одну из промежуточных вершин, например `V₁`. Теперь нам нужно сделать второй шаг (`P₁ → P₂`). Куда мы можем пойти из `V₁`?

• Мы не можем вернуться в `A`, так как путь `A → V₁ → A → ...` должен закончиться в `B` за один шаг. Но `A` и `B` не соединены ребром (кратчайший путь между ними — 2 ребра), так что этот вариант невозможен.
• Мы не можем сразу пойти в `B`, так как путь `A → V₁ → B` имеет длину 2, а нам нужен путь длиной 3.

Следовательно, вершина `P₂` должна быть другой промежуточной вершиной, соединенной с `P₁`. Каждая из четырех промежуточных вершин (`V₁`, `V₂`, `V₃`, `V₄`) соединена с двумя другими промежуточными вершинами (они образуют "экватор" октаэдра, который является квадратом). Таким образом, из `P₁` у нас есть 2 варианта выбора для `P₂`.

Шаг 3: Из промежуточной вершины `P₂` в конечную `B`.
На втором шаге мы перешли в другую промежуточную вершину `P₂`. Каждая из четырех промежуточных вершин соединена ребром с конечной вершиной `B`. Следовательно, из `P₂` мы гарантированно можем сделать шаг в `B`. Для этого шага у нас есть только 1 вариант.

Теперь, используя правило произведения в комбинаторике, мы можем найти общее число путей. Оно равно произведению числа вариантов на каждом шаге: $N = (\text{число вариантов для шага 1}) \times (\text{число вариантов для шага 2}) \times (\text{число вариантов для шага 3})$ $N = 4 \times 2 \times 1 = 8$

Таким образом, существует 8 различных путей длиной 3 ребра из одной вершины октаэдра в противолежащую.

Ответ: 8.