Номер 4.13, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.13. На листе бумаги в клетку изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 4.10. Отметьте середины ребер тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.

Для решения задачи сначала представим тетраэдр, например, $ABCD$. Тетраэдр имеет 4 вершины, 6 ребер ($AB, AC, AD, BC, BD, CD$) и 4 грани (треугольники $ABC, ABD, ACD, BCD$).

Отметим середины каждого из 6 ребер. Обозначим их как $M_{AB}, M_{AC}, M_{AD}, M_{BC}, M_{BD}, M_{CD}$. Эти 6 точек будут вершинами нового многогранника. Чтобы определить форму этого многогранника, соединим отрезками середины тех ребер исходного тетраэдра, которые имеют общую вершину. Например, ребра $AB$ и $AC$ имеют общую вершину $A$, поэтому их середины $M_{AB}$ и $M_{AC}$ соединяются ребром нового многогранника.

Вершинами какого многогранника они являются?

1. Вершины. Новый многогранник имеет 6 вершин — это середины 6 ребер исходного тетраэдра. Обозначим количество вершин как $V=6$.

2. Ребра. Ребра нового многогранника соединяют середины смежных ребер тетраэдра (ребер, имеющих общую вершину). Рассмотрим вершину $A$ тетраэдра. К ней сходятся три ребра: $AB, AC, AD$. Их середины $M_{AB}, M_{AC}, M_{AD}$ образуют три ребра нового многогранника: $M_{AB}M_{AC}, M_{AC}M_{AD}$ и $M_{AD}M_{AB}$. Такую же конструкцию можно провести для каждой из 4 вершин тетраэдра. Каждое ребро нового многогранника (например, $M_{AB}M_{AC}$) относится к двум таким конструкциям (для вершины $A$ и для грани $ABC$). Более точно, каждая вершина нового многогранника (например, $M_{AB}$) является серединой ребра, соединяющего две вершины тетраэдра ($A$ и $B$). Значит, $M_{AB}$ будет соединена с серединами всех остальных ребер, выходящих из вершин $A$ и $B$. Из вершины $A$ выходят $AC$ и $AD$, а из $B$ — $BC$ и $BD$. Таким образом, вершина $M_{AB}$ соединена с 4 другими вершинами: $M_{AC}, M_{AD}, M_{BC}, M_{BD}$. Поскольку каждая из 6 вершин соединена с 4 другими, общее число ребер $E$ равно $E = (6 \times 4) / 2 = 12$.

3. Грани. Используем формулу Эйлера для многогранников: $V - E + F = 2$, где $F$ — число граней. Подставим известные значения: $6 - 12 + F = 2$, откуда $F = 8$.

Многогранник с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями называется октаэдром. Его грани являются треугольниками. Можно выделить два типа этих граней:
- 4 грани, образованные средними линиями граней исходного тетраэдра. Например, для грани $ABC$ тетраэдра ее средние линии образуют треугольник $M_{AB}M_{AC}M_{BC}$, который является гранью октаэдра.
- 4 грани, соответствующие вершинам исходного тетраэдра. Например, для вершины $A$ тетраэдра, середины выходящих из нее ребер образуют треугольник $M_{AB}M_{AC}M_{AD}$, который также является гранью октаэдра.

Ответ: Середины ребер тетраэдра являются вершинами октаэдра.

Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.

По условию, все ребра исходного тетраэдра равны 1. Это означает, что тетраэдр является правильным, и все его грани — равносторонние треугольники со стороной 1.

Рассмотрим ребро октаэдра, например, ребро, соединяющее вершины $M_{AB}$ и $M_{AC}$. $M_{AB}$ — середина ребра $AB$ тетраэдра, а $M_{AC}$ — середина ребра $AC$.

Отрезок $M_{AB}M_{AC}$ является средней линией треугольника $ABC$, который представляет собой одну из граней тетраэдра. По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. В данном случае, средняя линия $M_{AB}M_{AC}$ параллельна стороне $BC$.

Длина ребра октаэдра равна:$|M_{AB}M_{AC}| = \frac{1}{2}|BC|$Поскольку длина ребра исходного тетраэдра $|BC| = 1$, то длина ребра октаэдра равна:$|M_{AB}M_{AC}| = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

Так как все ребра исходного тетраэдра равны 1, все его грани являются одинаковыми равносторонними треугольниками. Следовательно, все средние линии этих треугольников будут иметь одинаковую длину. Это означает, что все 12 ребер полученного октаэдра равны между собой, и их длина составляет $1/2$. Таким образом, полученный многогранник — правильный октаэдр.

Ответ: $1/2$.