Номер 4.14, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.14. От каждой вершины тетраэдра с ребром 2 см отсекается тетраэдр с ребром 1 см. Какой многогранник останется? Найдите его ребро.

Какой многогранник останется?

Исходная фигура — это правильный тетраэдр с длиной ребра $a = 2$ см. У тетраэдра 4 вершины и 4 грани, представляющие собой равносторонние треугольники.

От каждой из 4 вершин отсекается малый тетраэдр с ребром $b = 1$ см. Так как длина ребра отсекаемого тетраэдра ровно в два раза меньше длины ребра исходного тетраэдра ($b = a/2$), это означает, что плоскости отсечения проходят через середины рёбер, которые сходятся в каждой вершине.

Рассмотрим, как это преобразование влияет на исходную фигуру:

1. Вершины нового многогранника будут находиться в точках, которые являются серединами рёбер исходного тетраэдра. Поскольку у тетраэдра 6 рёбер, у полученного многогранника будет 6 вершин.

2. Грани исходного тетраэдра (4 равносторонних треугольника со стороной 2 см) усекаются по углам. Центральная часть каждой исходной грани, которая остаётся после усечения, представляет собой равносторонний треугольник, вершинами которого являются середины сторон исходной грани. По теореме о средней линии треугольника, сторона этого нового треугольника равна половине стороны исходной грани, то есть $2 / 2 = 1$ см. Таким образом, мы получаем 4 грани нового многогранника.

3. При отсечении малого тетраэдра от каждой из 4 вершин образуется новая грань. Эта грань представляет собой срез. Вершины этого среза — это середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины исходного тетраэдра. Следовательно, каждая новая грань также является равносторонним треугольником со стороной 1 см. Это даёт нам ещё 4 грани.

В результате получается многогранник, у которого $4 + 4 = 8$ граней. Все 8 граней являются одинаковыми равносторонними треугольниками со стороной 1 см. Такой многогранник называется октаэдром. Поскольку все его грани — правильные многоугольники (равносторонние треугольники), это правильный октаэдр.

Ответ: В результате останется правильный октаэдр.

Найдите его ребро.

Как было показано при определении формы многогранника, его рёбрами являются отрезки, соединяющие середины рёбер исходного тетраэдра. Каждый такой отрезок является средней линией одной из треугольных граней исходного тетраэдра.

Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельного ей основания. В нашем случае основанием является ребро исходного тетраэдра, длина которого составляет 2 см.

Следовательно, длина ребра полученного октаэдра равна: $L = \frac{a}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Ответ: Длина ребра полученного многогранника равна 1 см.