Номер 4.11, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.11 Изобразите куб аналогично данному на рисунке 4.9. Вершинами какого многогранника являются вершины $A, C, B_1, D_1$ этого куба? Изобразите этот многогранник. Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Рис. 4.9

Вершинами какого многогранника являются вершины A, C, B₁, D₁ этого куба? Изобразите этот многогранник.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным $a$. Вершины A, C, B₁, D₁ образуют новый многогранник, вписанный в куб. Соединим эти вершины отрезками (ребрами нового многогранника):

• $AC$ – диагональ нижней грани $ABCD$.
• $CB_1$ – диагональ боковой грани $BCC_1B_1$.
• $B_1D_1$ – диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
• $D_1A$ – диагональ боковой грани $ADD_1A_1$.
• $AB_1$ – диагональ боковой грани $ABB_1A_1$.
• $CD_1$ – диагональ боковой грани $CDD_1C_1$.

Всего у многогранника 4 вершины (A, C, B₁, D₁) и 6 ребер. Каждое ребро является диагональю одной из граней куба. Поскольку все грани куба – равные квадраты, то и все их диагонали равны между собой. Длина каждой диагонали грани куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{2}$.

Таким образом, мы получили многогранник, у которого все 6 ребер равны. Его гранями являются 4 треугольника: $\Delta AC B_1$, $\Delta AC D_1$, $\Delta A B_1 D_1$ и $\Delta C B_1 D_1$. Так как все стороны этих треугольников равны (они являются ребрами нашего многогранника), то все грани – равносторонние треугольники.

Многогранник с четырьмя гранями, представляющими собой равносторонние треугольники, называется правильным тетраэдром.

Ниже представлено изображение куба и вписанного в него правильного тетраэдра $ACB_1D_1$. Ребра куба показаны серым цветом, ребра тетраэдра – красным.

Ответ: Вершины A, C, B₁, D₁ являются вершинами правильного тетраэдра.

Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

По условию, ребро исходного куба равно 1. Обозначим его $a=1$.Ребро тетраэдра, как мы установили ранее, является диагональю грани куба. Найдем длину этой диагонали.Рассмотрим, например, нижнюю грань куба – квадрат $ABCD$. Ребро тетраэдра $AC$ является диагональю этого квадрата. Треугольник $\Delta ABC$ является прямоугольным, с катетами $AB$ и $BC$, равными ребру куба $a$.По теореме Пифагора для треугольника $\Delta ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Подставим известные значения:

$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Следовательно, длина ребра тетраэдра равна:

$AC = \sqrt{2}$

Поскольку все 6 ребер тетраэдра являются диагоналями равных граней куба, все они имеют одинаковую длину.

Ответ: $\sqrt{2}$.