Страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4.9. Соединение каких двух многогранников изображено на рисунке 4.7?

Рис. 4.7

На рисунке 4.7 изображено соединение (композиция) двух правильных многогранников, которые являются платоновыми телами: куба (правильного гексаэдра) и октаэдра.

Эти два многогранника являются дуальными (двойственными) друг другу. Это означает, что число вершин одного многогранника равно числу граней другого, и наоборот:

• Куб имеет 6 квадратных граней, 8 вершин и 12 рёбер.
• Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 6 вершин и 12 рёбер.

В представленном соединении многогранники имеют общий центр. Вершины октаэдра расположены в центрах граней куба, а вершины куба — в центрах граней октаэдра. Такое соединение является первой звёздчатой формой кубооктаэдра.

Ответ: На рисунке изображено соединение куба и октаэдра.

4.10. Соединение каких двух многогранников изображено на рисунке 4.8?

Рис. 4.8

На рисунке 4.8 изображено соединение двух правильных многогранников, которые являются двойственными (дуальными) друг другу: икосаэдра и додекаэдра.

Икосаэдр — это один из пяти платоновых тел, правильный многогранник, состоящий из $20$ равносторонних треугольных граней. У него $12$ вершин, в каждой из которых сходится по $5$ граней, и $30$ рёбер.

Додекаэдр — это также платоново тело, правильный многогранник, состоящий из $12$ правильных пятиугольных граней. У него $20$ вершин, в каждой из которых сходится по $3$ грани, и $30$ рёбер.

Соединение этих двух многогранников образуется при их совмещении в одном центре таким образом, чтобы вершины одного многогранника располагались над центрами граней другого. В этой двойственной конфигурации $12$ вершин икосаэдра образуют остроконечные выступы (шипы) соединения, так как каждая из этих вершин расположена на перпендикуляре, восстановленном из центра соответствующей пятиугольной грани додекаэдра. В свою очередь, $20$ вершин додекаэдра образуют более пологие вершины, находящиеся во впадинах между "шипами", поскольку каждая из этих вершин расположена на перпендикуляре из центра соответствующей треугольной грани икосаэдра.

В результате такого взаимопроникновения все грани исходных многогранников пересекаются. Поверхность получившегося звёздчатого многогранника состоит из видимых частей исходных граней. Хотя додекаэдр имеет пятиугольные грани, на поверхности соединения они оказываются разбиты рёбрами икосаэдра на более мелкие треугольные участки. Таким образом, вся поверхность составного многогранника покрыта треугольниками, как и показано на рисунке.

Общее тело, являющееся пересечением икосаэдра и додекаэдра, — это архимедово тело икосододекаэдр. Выступы на изображённой фигуре представляют собой пирамиды, построенные на гранях этого икосододекаэдра.

Ответ: На рисунке изображено соединение правильного икосаэдра и правильного додекаэдра.

4.11 Изобразите куб аналогично данному на рисунке 4.9. Вершинами какого многогранника являются вершины $A, C, B_1, D_1$ этого куба? Изобразите этот многогранник. Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Рис. 4.9

Вершинами какого многогранника являются вершины A, C, B₁, D₁ этого куба? Изобразите этот многогранник.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным $a$. Вершины A, C, B₁, D₁ образуют новый многогранник, вписанный в куб. Соединим эти вершины отрезками (ребрами нового многогранника):

• $AC$ – диагональ нижней грани $ABCD$.
• $CB_1$ – диагональ боковой грани $BCC_1B_1$.
• $B_1D_1$ – диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
• $D_1A$ – диагональ боковой грани $ADD_1A_1$.
• $AB_1$ – диагональ боковой грани $ABB_1A_1$.
• $CD_1$ – диагональ боковой грани $CDD_1C_1$.

Всего у многогранника 4 вершины (A, C, B₁, D₁) и 6 ребер. Каждое ребро является диагональю одной из граней куба. Поскольку все грани куба – равные квадраты, то и все их диагонали равны между собой. Длина каждой диагонали грани куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{2}$.

Таким образом, мы получили многогранник, у которого все 6 ребер равны. Его гранями являются 4 треугольника: $\Delta AC B_1$, $\Delta AC D_1$, $\Delta A B_1 D_1$ и $\Delta C B_1 D_1$. Так как все стороны этих треугольников равны (они являются ребрами нашего многогранника), то все грани – равносторонние треугольники.

Многогранник с четырьмя гранями, представляющими собой равносторонние треугольники, называется правильным тетраэдром.

Ниже представлено изображение куба и вписанного в него правильного тетраэдра $ACB_1D_1$. Ребра куба показаны серым цветом, ребра тетраэдра – красным.

Ответ: Вершины A, C, B₁, D₁ являются вершинами правильного тетраэдра.

Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

По условию, ребро исходного куба равно 1. Обозначим его $a=1$.Ребро тетраэдра, как мы установили ранее, является диагональю грани куба. Найдем длину этой диагонали.Рассмотрим, например, нижнюю грань куба – квадрат $ABCD$. Ребро тетраэдра $AC$ является диагональю этого квадрата. Треугольник $\Delta ABC$ является прямоугольным, с катетами $AB$ и $BC$, равными ребру куба $a$.По теореме Пифагора для треугольника $\Delta ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Подставим известные значения:

$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Следовательно, длина ребра тетраэдра равна:

$AC = \sqrt{2}$

Поскольку все 6 ребер тетраэдра являются диагоналями равных граней куба, все они имеют одинаковую длину.

Ответ: $\sqrt{2}$.

4.12. Изобразите куб аналогично данному на рисунке 4.9. Отметьте центры граней куба. Вершинами какого многогранника они являются? Изобразите этот многогранник. Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Рис. 4.9

Изобразите куб аналогично данному на рисунке 4.9. Отметьте центры граней куба.

Изобразим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ в соответствии с рисунком. Куб имеет 6 граней, и каждая грань является квадратом. Центр грани — это точка пересечения ее диагоналей. Отметим на нашем изображении центры всех шести граней куба.

Вершинами какого многогранника они являются? Изобразите этот многогранник.

Если соединить отрезками центры каждых двух смежных граней куба, то получится новый многогранник, вписанный в исходный куб.

Вершинами этого многогранника являются 6 центров граней исходного куба. Этот многогранник имеет 12 ребер (отрезки, соединяющие центры смежных граней) и 8 граней, каждая из которых является правильным треугольником.

Такой многогранник называется октаэдром. Поскольку все его ребра имеют одинаковую длину (что будет показано в следующем пункте), а грани являются равными равносторонними треугольниками, этот многогранник является правильным октаэдром.

Ответ: центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.

Найдите его ребро, если ребра исходного куба равны 1.

Пусть длина ребра исходного куба равна 1. Ребро октаэдра — это отрезок, соединяющий центры двух смежных граней куба. Найдем длину этого ребра.

Рассмотрим две смежные грани, например, верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$ и переднюю грань $ABB_1A_1$. Обозначим их центры как $O_1$ и $O_2$ соответственно. Искомое ребро октаэдра — это длина отрезка $O_1O_2$.

Пусть точка $M$ — это середина общего ребра $A_1B_1$ этих двух граней.

В квадрате $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя грань) расстояние от его центра $O_1$ до середины стороны $M$ равно половине длины стороны квадрата: $O_1M = 1/2$.

Аналогично, в квадрате $ABB_1A_1$ (передняя грань) расстояние от его центра $O_2$ до середины стороны $M$ также равно $O_2M = 1/2$.

Верхняя и передняя грани куба перпендикулярны. Отрезок $O_1M$ лежит в плоскости верхней грани и перпендикулярен ребру $A_1B_1$. Отрезок $O_2M$ лежит в плоскости передней грани и также перпендикулярен ребру $A_1B_1$. Следовательно, угол между отрезками $O_1M$ и $O_2M$ равен $90^\circ$, и треугольник $\triangle O_1MO_2$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Применим теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $O_1O_2$, которая и является ребром октаэдра (обозначим его длину как $a$).
$a^2 = (O_1M)^2 + (O_2M)^2$
$a^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2$

Извлекая квадратный корень, получаем искомую длину ребра октаэдра:
$a = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4.13. На листе бумаги в клетку изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 4.10. Отметьте середины ребер тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.

Для решения задачи сначала представим тетраэдр, например, $ABCD$. Тетраэдр имеет 4 вершины, 6 ребер ($AB, AC, AD, BC, BD, CD$) и 4 грани (треугольники $ABC, ABD, ACD, BCD$).

Отметим середины каждого из 6 ребер. Обозначим их как $M_{AB}, M_{AC}, M_{AD}, M_{BC}, M_{BD}, M_{CD}$. Эти 6 точек будут вершинами нового многогранника. Чтобы определить форму этого многогранника, соединим отрезками середины тех ребер исходного тетраэдра, которые имеют общую вершину. Например, ребра $AB$ и $AC$ имеют общую вершину $A$, поэтому их середины $M_{AB}$ и $M_{AC}$ соединяются ребром нового многогранника.

Вершинами какого многогранника они являются?

1. Вершины. Новый многогранник имеет 6 вершин — это середины 6 ребер исходного тетраэдра. Обозначим количество вершин как $V=6$.

2. Ребра. Ребра нового многогранника соединяют середины смежных ребер тетраэдра (ребер, имеющих общую вершину). Рассмотрим вершину $A$ тетраэдра. К ней сходятся три ребра: $AB, AC, AD$. Их середины $M_{AB}, M_{AC}, M_{AD}$ образуют три ребра нового многогранника: $M_{AB}M_{AC}, M_{AC}M_{AD}$ и $M_{AD}M_{AB}$. Такую же конструкцию можно провести для каждой из 4 вершин тетраэдра. Каждое ребро нового многогранника (например, $M_{AB}M_{AC}$) относится к двум таким конструкциям (для вершины $A$ и для грани $ABC$). Более точно, каждая вершина нового многогранника (например, $M_{AB}$) является серединой ребра, соединяющего две вершины тетраэдра ($A$ и $B$). Значит, $M_{AB}$ будет соединена с серединами всех остальных ребер, выходящих из вершин $A$ и $B$. Из вершины $A$ выходят $AC$ и $AD$, а из $B$ — $BC$ и $BD$. Таким образом, вершина $M_{AB}$ соединена с 4 другими вершинами: $M_{AC}, M_{AD}, M_{BC}, M_{BD}$. Поскольку каждая из 6 вершин соединена с 4 другими, общее число ребер $E$ равно $E = (6 \times 4) / 2 = 12$.

3. Грани. Используем формулу Эйлера для многогранников: $V - E + F = 2$, где $F$ — число граней. Подставим известные значения: $6 - 12 + F = 2$, откуда $F = 8$.

Многогранник с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями называется октаэдром. Его грани являются треугольниками. Можно выделить два типа этих граней:
- 4 грани, образованные средними линиями граней исходного тетраэдра. Например, для грани $ABC$ тетраэдра ее средние линии образуют треугольник $M_{AB}M_{AC}M_{BC}$, который является гранью октаэдра.
- 4 грани, соответствующие вершинам исходного тетраэдра. Например, для вершины $A$ тетраэдра, середины выходящих из нее ребер образуют треугольник $M_{AB}M_{AC}M_{AD}$, который также является гранью октаэдра.

Ответ: Середины ребер тетраэдра являются вершинами октаэдра.

Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.

По условию, все ребра исходного тетраэдра равны 1. Это означает, что тетраэдр является правильным, и все его грани — равносторонние треугольники со стороной 1.

Рассмотрим ребро октаэдра, например, ребро, соединяющее вершины $M_{AB}$ и $M_{AC}$. $M_{AB}$ — середина ребра $AB$ тетраэдра, а $M_{AC}$ — середина ребра $AC$.

Отрезок $M_{AB}M_{AC}$ является средней линией треугольника $ABC$, который представляет собой одну из граней тетраэдра. По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. В данном случае, средняя линия $M_{AB}M_{AC}$ параллельна стороне $BC$.

Длина ребра октаэдра равна:$|M_{AB}M_{AC}| = \frac{1}{2}|BC|$Поскольку длина ребра исходного тетраэдра $|BC| = 1$, то длина ребра октаэдра равна:$|M_{AB}M_{AC}| = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

Так как все ребра исходного тетраэдра равны 1, все его грани являются одинаковыми равносторонними треугольниками. Следовательно, все средние линии этих треугольников будут иметь одинаковую длину. Это означает, что все 12 ребер полученного октаэдра равны между собой, и их длина составляет $1/2$. Таким образом, полученный многогранник — правильный октаэдр.

Ответ: $1/2$.

4.14. От каждой вершины тетраэдра с ребром 2 см отсекается тетраэдр с ребром 1 см. Какой многогранник останется? Найдите его ребро.

Какой многогранник останется?

Исходная фигура — это правильный тетраэдр с длиной ребра $a = 2$ см. У тетраэдра 4 вершины и 4 грани, представляющие собой равносторонние треугольники.

От каждой из 4 вершин отсекается малый тетраэдр с ребром $b = 1$ см. Так как длина ребра отсекаемого тетраэдра ровно в два раза меньше длины ребра исходного тетраэдра ($b = a/2$), это означает, что плоскости отсечения проходят через середины рёбер, которые сходятся в каждой вершине.

Рассмотрим, как это преобразование влияет на исходную фигуру:

1. Вершины нового многогранника будут находиться в точках, которые являются серединами рёбер исходного тетраэдра. Поскольку у тетраэдра 6 рёбер, у полученного многогранника будет 6 вершин.

2. Грани исходного тетраэдра (4 равносторонних треугольника со стороной 2 см) усекаются по углам. Центральная часть каждой исходной грани, которая остаётся после усечения, представляет собой равносторонний треугольник, вершинами которого являются середины сторон исходной грани. По теореме о средней линии треугольника, сторона этого нового треугольника равна половине стороны исходной грани, то есть $2 / 2 = 1$ см. Таким образом, мы получаем 4 грани нового многогранника.

3. При отсечении малого тетраэдра от каждой из 4 вершин образуется новая грань. Эта грань представляет собой срез. Вершины этого среза — это середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины исходного тетраэдра. Следовательно, каждая новая грань также является равносторонним треугольником со стороной 1 см. Это даёт нам ещё 4 грани.

В результате получается многогранник, у которого $4 + 4 = 8$ граней. Все 8 граней являются одинаковыми равносторонними треугольниками со стороной 1 см. Такой многогранник называется октаэдром. Поскольку все его грани — правильные многоугольники (равносторонние треугольники), это правильный октаэдр.

Ответ: В результате останется правильный октаэдр.

Найдите его ребро.

Как было показано при определении формы многогранника, его рёбрами являются отрезки, соединяющие середины рёбер исходного тетраэдра. Каждый такой отрезок является средней линией одной из треугольных граней исходного тетраэдра.

Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельного ей основания. В нашем случае основанием является ребро исходного тетраэдра, длина которого составляет 2 см.

Следовательно, длина ребра полученного октаэдра равна: $L = \frac{a}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Ответ: Длина ребра полученного многогранника равна 1 см.

4.15. Ребро октаэдра равно 1 см. Определите расстояние между его противолежащими вершинами.

Правильный октаэдр представляет собой многогранник, составленный из восьми граней, являющихся равносторонними треугольниками. Его можно представить в виде двух правильных четырёхугольных пирамид, которые соединены своими квадратными основаниями. Четыре вершины октаэдра лежат в одной плоскости и образуют квадрат. Две оставшиеся вершины находятся на перпендикуляре к плоскости этого квадрата, проходящем через его центр, по разные стороны от него.

Пусть ребро октаэдра равно $a$. По условию задачи $a = 1$ см. Стороны центрального квадрата являются рёбрами октаэдра, следовательно, длина стороны этого квадрата также равна $a$. Расстояние между двумя противолежащими вершинами этого квадрата является его диагональю. Обозначим эту диагональ как $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются две стороны квадрата ($a$ и $a$), а гипотенузой — его диагональ ($d$). Согласно теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Отсюда находим длину диагонали:

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

В силу симметрии правильного октаэдра, расстояние между любой парой его противолежащих вершин одинаково. Следовательно, искомое расстояние равно диагонали центрального квадрата. Подставим известное значение длины ребра $a = 1$ см в полученную формулу:

$d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.

4.16. Сколько имеется путей длиной 2 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

4.16. Единичный октаэдр — это правильный многогранник, имеющий 6 вершин, 12 ребер и 8 граней в виде равносторонних треугольников. В "единичном" октаэдре длина каждого ребра принимается равной 1. Путь длиной 2 см по ребрам такого октаэдра означает путь, состоящий из двух последовательных ребер, если считать, что единица измерения — сантиметр.

Рассмотрим произвольную вершину октаэдра, назовем ее $A$. У каждой вершины октаэдра есть ровно одна противоположная вершина. Назовем ее $B$. Каждая вершина октаэдра соединена ребрами с четырьмя другими вершинами (степень каждой вершины равна 4).

Нам необходимо найти количество путей длины 2 из вершины $A$ в вершину $B$. Путь длины 2 состоит из двух ребер и имеет вид $A \rightarrow P \rightarrow B$, где $P$ — некоторая промежуточная вершина.

Чтобы попасть из $A$ в $B$ за два шага, мы должны сначала сделать шаг из $A$ в некоторую вершину $P$, а затем из $P$ сделать шаг в $B$.

Первый шаг из $A$ может быть сделан в любую из четырех смежных с $A$ вершин. Обозначим этих соседей $P_1, P_2, P_3, P_4$. Таким образом, существует 4 варианта выбора промежуточной вершины $P$.

Теперь рассмотрим второй шаг. Для каждого выбора промежуточной вершины $P_i$ нам нужно проверить, существует ли ребро, соединяющее $P_i$ и конечную вершину $B$. В структуре октаэдра все четыре вершины, смежные с $A$, также смежны и с противоположной вершиной $B$. Эти четыре вершины образуют "экваториальную" плоскость между полюсами $A$ и $B$.

Таким образом, для каждого из 4-х вариантов выбора первого ребра (например, $A \rightarrow P_1$) существует ровно один вариант для второго ребра ($P_1 \rightarrow B$), который приводит нас к цели. Всего получается 4 различных пути: $A \rightarrow P_1 \rightarrow B$, $A \rightarrow P_2 \rightarrow B$, $A \rightarrow P_3 \rightarrow B$ и $A \rightarrow P_4 \rightarrow B$.

Следовательно, общее количество таких путей равно 4.

Ответ: 4

4.17. Сколько имеется путей длиной 3 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

Для решения этой задачи рассмотрим структуру единичного октаэдра. Единичный октаэдр — это многогранник с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями (треугольниками). Поскольку он "единичный", а длина пути составляет 3 см, мы можем считать, что длина каждого ребра равна 1 см. Таким образом, нам нужно найти количество путей длиной в 3 ребра.

Октаэдр обладает высокой степенью симметрии. Выберем любую вершину в качестве начальной, назовем ее `A`. У нее есть одна противолежащая вершина, назовем ее `B`. Остальные 4 вершины (назовем их `V₁`, `V₂`, `V₃`, `V₄`) находятся на одинаковом расстоянии от `A` и `B`. Вершина `A` соединена ребрами с каждой из этих четырех вершин. Аналогично, вершина `B` также соединена с каждой из этих четырех вершин.

Нам нужно найти путь длиной 3 ребра из `A` в `B`. Обозначим такой путь как последовательность вершин: `A → P₁ → P₂ → B`, где `P₁` и `P₂` — промежуточные вершины.

Рассмотрим шаги для построения такого пути:

Шаг 1: Из начальной вершины `A`.
Вершина `A` соединена с 4-мя промежуточными вершинами (`V₁`, `V₂`, `V₃`, `V₄`). Значит, для первого шага (`A → P₁`) у нас есть 4 варианта выбора вершины `P₁`.

Шаг 2: Из промежуточной вершины `P₁`.
Предположим, на первом шаге мы перешли в одну из промежуточных вершин, например `V₁`. Теперь нам нужно сделать второй шаг (`P₁ → P₂`). Куда мы можем пойти из `V₁`?

• Мы не можем вернуться в `A`, так как путь `A → V₁ → A → ...` должен закончиться в `B` за один шаг. Но `A` и `B` не соединены ребром (кратчайший путь между ними — 2 ребра), так что этот вариант невозможен.
• Мы не можем сразу пойти в `B`, так как путь `A → V₁ → B` имеет длину 2, а нам нужен путь длиной 3.

Следовательно, вершина `P₂` должна быть другой промежуточной вершиной, соединенной с `P₁`. Каждая из четырех промежуточных вершин (`V₁`, `V₂`, `V₃`, `V₄`) соединена с двумя другими промежуточными вершинами (они образуют "экватор" октаэдра, который является квадратом). Таким образом, из `P₁` у нас есть 2 варианта выбора для `P₂`.

Шаг 3: Из промежуточной вершины `P₂` в конечную `B`.
На втором шаге мы перешли в другую промежуточную вершину `P₂`. Каждая из четырех промежуточных вершин соединена ребром с конечной вершиной `B`. Следовательно, из `P₂` мы гарантированно можем сделать шаг в `B`. Для этого шага у нас есть только 1 вариант.

Теперь, используя правило произведения в комбинаторике, мы можем найти общее число путей. Оно равно произведению числа вариантов на каждом шаге: $N = (\text{число вариантов для шага 1}) \times (\text{число вариантов для шага 2}) \times (\text{число вариантов для шага 3})$ $N = 4 \times 2 \times 1 = 8$

Таким образом, существует 8 различных путей длиной 3 ребра из одной вершины октаэдра в противолежащую.

Ответ: 8.

4.18. На листе бумаги в клетку изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 4.10. Отметьте центры граней тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1 см.

Вершинами какого многогранника они являются?
Центры граней исходного правильного тетраэдра образуют вершины нового многогранника. У исходного тетраэдра 4 грани, следовательно, у нового многогранника будет 4 вершины. Многогранник с четырьмя вершинами — это тетраэдр. Докажем, что этот новый тетраэдр также является правильным.
Пусть ребро исходного тетраэдра $ABCD$ равно $a$. Рассмотрим две его грани, например $ABC$ и $ABD$, имеющие общее ребро $AB$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры этих граней. Длина отрезка $O_1O_2$ будет длиной ребра нового тетраэдра.
Центр равностороннего треугольника (грани) совпадает с точкой пересечения его медиан. Пусть $M$ — середина ребра $AB$. Тогда $CM$ и $DM$ — медианы треугольников $ABC$ и $ABD$ соответственно. Центр $O_1$ лежит на медиане $CM$ и делит её в отношении $2:1$, считая от вершины, т.е. $MO_1 = \frac{1}{3}CM$. Аналогично, $O_2$ лежит на $DM$ так, что $MO_2 = \frac{1}{3}DM$.
В треугольнике $CDM$ отрезок $O_1O_2$ соединяет точки на сторонах $CM$ и $DM$. Так как треугольники $ABC$ и $ABD$ равны, то их медианы также равны: $CM = DM$. Треугольник $MCD$ является равнобедренным. Треугольник $MO_1O_2$ подобен треугольнику $MCD$ по двум сторонам и углу между ними, так как $\frac{MO_1}{MC} = \frac{MO_2}{MD} = \frac{1}{3}$ и угол при вершине $M$ у них общий. Из подобия следует, что $O_1O_2 = \frac{1}{3}CD$. Так как $CD = a$, то ребро нового тетраэдра равно $b = \frac{a}{3}$.
Поскольку все ребра исходного тетраэдра равны $a$, то по симметрии все ребра нового тетраэдра будут равны $\frac{a}{3}$. Следовательно, новый многогранник является правильным тетраэдром.
Ответ: Правильный тетраэдр.

Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1 см.
Из предыдущего пункта мы знаем, что ребро нового тетраэдра $b$ и ребро исходного тетраэдра $a$ связаны соотношением $b = \frac{a}{3}$.
По условию, $a = 1$ см. Подставляем это значение в формулу:
$b = \frac{1}{3} \cdot 1 \text{ см} = \frac{1}{3}$ см.
Ответ: $\frac{1}{3}$ см.