Страница 35 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Как Вы думаете, может ли у фигуры быть несколько центров симметрии?

Вопрос о количестве центров симметрии у фигуры требует рассмотрения двух различных случаев: для ограниченных и для неограниченных фигур.

Ограниченные фигуры

Ограниченной называется фигура, которую можно целиком поместить внутрь некоторого круга (или шара в пространстве) конечного радиуса. Докажем от противного, что у ограниченной фигуры не может быть более одного центра симметрии.

Предположим, что у ограниченной фигуры $F$ есть два различных центра симметрии — точки $O_1$ и $O_2$.

Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование, при котором любая точка $A$ фигуры переходит в такую точку $A'$, что $O$ является серединой отрезка $AA'$. Обозначим симметрию относительно $O_1$ как $S_1$, а относительно $O_2$ — как $S_2$.

Возьмем произвольную точку $A$, принадлежащую фигуре $F$. Так как $O_1$ — центр симметрии, то точка $A_1 = S_1(A)$ также принадлежит $F$. Теперь применим к точке $A_1$ симметрию относительно $O_2$. Так как $O_2$ — центр симметрии, а точка $A_1$ принадлежит $F$, то и точка $A_2 = S_2(A_1)$ тоже принадлежит $F$.

Таким образом, последовательное применение двух симметрий $T = S_2 \circ S_1$ переводит любую точку фигуры $F$ в точку этой же фигуры. Рассмотрим, что из себя представляет это преобразование. Композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом на вектор $\vec{v} = 2\vec{O_1O_2}$.

Это означает, что если точка $A$ принадлежит фигуре $F$, то и точка $A' = A + 2\vec{O_1O_2}$ также принадлежит фигуре $F$. Применяя это преобразование многократно, мы получим, что фигуре $F$ принадлежат все точки вида $A + k \cdot \vec{v}$ для любого целого числа $k$ ($k = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$). Эти точки образуют бесконечную последовательность, уходящую на бесконечность вдоль прямой, параллельной вектору $\vec{v}$. Однако это противоречит определению ограниченной фигуры, которую можно поместить в круг конечного радиуса. Следовательно, наше исходное предположение о существовании двух центров симметрии было неверным.

Ответ: Ограниченная фигура может иметь не более одного центра симметрии.

Неограниченные фигуры

Неограниченная фигура — это фигура, которую нельзя полностью поместить в круг конечного радиуса. Для таких фигур приведенное выше рассуждение не приводит к противоречию, и они могут иметь несколько центров симметрии.

Приведем несколько примеров:

1. Прямая линия. Любая точка, лежащая на прямой, является ее центром симметрии. Таким образом, у прямой бесконечное множество центров симметрии.

2. Бесконечная полоса. Это область, заключенная между двумя параллельными прямыми. У нее также бесконечно много центров симметрии — любая точка на ее средней линии является центром симметрии.

3. График функции $y = \sin(x)$. Этот график является неограниченной фигурой и имеет бесконечное множество центров симметрии. Такими центрами являются все точки пересечения графика с осью абсцисс: $(\pi k, 0)$, где $k$ — любое целое число.

4. Бесконечная решетка точек. Рассмотрим на плоскости множество точек с целочисленными координатами $(m, n)$, где $m, n \in \mathbb{Z}$. Центрами симметрии для такой фигуры будут не только сами эти точки, но и центры отрезков, соединяющих любые две точки решетки. Таких центров бесконечно много.

Ответ: Неограниченная фигура может иметь несколько, в том числе бесконечно много, центров симметрии.

Общий вывод

Отвечая на вопрос в общем виде, можно сделать следующий вывод. Существование нескольких центров симметрии напрямую связано со свойством ограниченности фигуры.

Ответ: Да, у фигуры может быть несколько центров симметрии. Это возможно в том случае, если фигура является неограниченной. Если же фигура ограничена, то она может иметь только один центр симметрии или не иметь его вовсе.