Страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.10 Укажите центры симметрии фигуры, состоящей из:

а) двух пересекающихся плоскостей;

б) двух параллельных плоскостей.

а) Центром симметрии фигуры называется такая точка $C$, что для любой точки $P$, принадлежащей фигуре, симметричная ей относительно $C$ точка $P'$ также принадлежит этой фигуре.
Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Линия их пересечения — прямая $l$. Фигура $F$ представляет собой объединение этих двух плоскостей: $F = \alpha \cup \beta$.
Рассмотрим любую точку $C$, принадлежащую прямой $l$. Поскольку точка $C$ лежит на прямой пересечения, она принадлежит обеим плоскостям: $C \in \alpha$ и $C \in \beta$.
1. Пусть точка $P$ принадлежит плоскости $\alpha$. Так как и точка $P$, и центр симметрии $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и симметричная точка $P'$ относительно $C$ также будет лежать в плоскости $\alpha$. Следовательно, $P'$ принадлежит фигуре $F$.
2. Пусть точка $P$ принадлежит плоскости $\beta$. Аналогично, так как и $P$, и $C$ лежат в плоскости $\beta$, то и симметричная точка $P'$ будет лежать в плоскости $\beta$. Следовательно, $P'$ принадлежит фигуре $F$.
Таким образом, любая точка на линии пересечения плоскостей является центром симметрии данной фигуры.
Если выбрать точку-центр симметрии вне прямой $l$ (например, в плоскости $\alpha$, но не на $l$), то для точки $P$ из плоскости $\beta$ (также не лежащей на $l$) симметричная ей точка $P'$ не будет принадлежать ни одной из плоскостей $\alpha$ или $\beta$, а значит, и всей фигуре.
Ответ: Множество центров симметрии фигуры, состоящей из двух пересекающихся плоскостей, есть прямая пересечения этих плоскостей.

б) Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Фигура $F$ представляет собой их объединение: $F = \alpha \cup \beta$.
Рассмотрим плоскость $\gamma$, которая параллельна плоскостям $\alpha$ и $\beta$ и расположена ровно посередине между ними (то есть равноудалена от них).
Выберем любую точку $C$ в плоскости $\gamma$ в качестве потенциального центра симметрии.
1. Пусть точка $P$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно центра $C$, будет находиться на прямой $PC$ на таком же расстоянии от $C$, но с другой стороны. Поскольку плоскость $\gamma$ равноудалена от $\alpha$ и $\beta$, точка $P'$ окажется в плоскости $\beta$. Так как $\beta$ является частью фигуры $F$, то $P' \in F$.
2. Пусть точка $P$ принадлежит плоскости $\beta$. По аналогии, симметричная ей относительно $C$ точка $P'$ окажется в плоскости $\alpha$. Так как $\alpha$ является частью фигуры $F$, то $P' \in F$.
Следовательно, любая точка плоскости $\gamma$ является центром симметрии фигуры $F$.
Если выбрать центр симметрии $C$ не в плоскости $\gamma$, то симметрия будет нарушена. Например, если $C \in \alpha$, то для любой точки $P \in \beta$ симметричная точка $P'$ не попадет ни в $\alpha$, ни в $\beta$.
Ответ: Множество центров симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных плоскостей, есть плоскость, параллельная данным плоскостям и проходящая посередине между ними.

5.11.Имеет ли центр симметрии наклонный параллелепипед (рис. 5.21)?

$D_1$ $C_1$ $A_1$ $B_1$ $D$ $C$ $A$ $B$

Рис. 5.21

Да, наклонный параллелепипед, как и любой другой параллелепипед, имеет центр симметрии.

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре, симметричная ей относительно $O$ точка $M'$ также принадлежит этой фигуре.

Для любого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (включая наклонный) его четыре большие диагонали ($AC_1$, $BD_1$, $A_1C$ и $B_1D$) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эта точка пересечения диагоналей и является центром симметрии параллелепипеда.

Обозначим точку пересечения диагоналей буквой $O$. При симметрии относительно точки $O$ происходит следующее:

1. Каждая вершина параллелепипеда отображается на противоположную ей вершину. Например, поскольку $O$ является серединой диагонали $AC_1$, вершина $A$ симметрична вершине $C_1$. Аналогично, вершина $B$ симметрична $D_1$, $C$ — $A_1$, и $D$ — $B_1$.

2. Каждое ребро отображается на параллельное ему противоположное ребро. Например, ребро $AB$ симметрично ребру $C_1D_1$.

3. Каждая грань отображается на параллельную ей противоположную грань. Например, грань $ABCD$ симметрична грани $A_1B_1C_1D_1$.

Поскольку при симметрии относительно точки $O$ все элементы параллелепипеда (вершины, ребра, грани) переходят в элементы этого же параллелепипеда, то и любая точка, лежащая на поверхности или внутри фигуры, перейдет в точку, также принадлежащую этому параллелепипеду. Следовательно, точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

Ответ: да, имеет. Центром симметрии наклонного параллелепипеда является точка пересечения его диагоналей.

5.12 Имеет ли центр симметрии:

а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) до-декаэдр (рис. 5.22)?

а)

б)

в)

Рис. 5.22

а) октаэдр
Центром симметрии фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $M$ фигуры точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Такое преобразование называется центральной симметрией.
Правильный октаэдр (рис. 5.22, а) является одним из пяти Платоновых тел. Он имеет центр симметрии, который совпадает с его геометрическим центром.
Это можно увидеть, рассмотрев его элементы:
- Вершины: Октаэдр имеет 6 вершин. Каждой вершине противолежит другая вершина, и отрезок, соединяющий их, проходит через центр октаэдра, который является его серединой.
- Ребра: Октаэдр имеет 12 ребер. Каждому ребру противолежит параллельное ему ребро.
- Грани: Октаэдр имеет 8 граней (правильные треугольники). Каждой грани противолежит параллельная ей грань.
Таким образом, любая точка на поверхности или внутри октаэдра имеет симметричную ей точку относительно центра, которая также принадлежит октаэдру.
Ответ: да, имеет.

б) икосаэдр
Правильный икосаэдр (рис. 5.22, б) — это Платоново тело, состоящее из 20 правильных треугольников. Как и октаэдр, икосаэдр обладает центральной симметрией. Его центр симметрии — это его геометрический центр.
Симметрия икосаэдра проявляется в том, что:
- Вершины: У икосаэдра 12 вершин. Для каждой вершины существует диаметрально противоположная ей вершина. Всего имеется 6 пар противоположных вершин.
- Ребра: У икосаэдра 30 ребер. Для каждого ребра существует противоположное и параллельное ему ребро. Всего 15 пар противоположных ребер.
- Грани: У икосаэдра 20 граней. Для каждой грани существует противоположная и параллельная ей грань. Всего 10 пар противоположных граней.
Таким образом, преобразование центральной симметрии относительно геометрического центра переводит икосаэдр в себя.
Ответ: да, имеет.

в) додекаэдр
Правильный додекаэдр (рис. 5.22, в) — это Платоново тело, гранями которого являются 12 правильных пятиугольников. Додекаэдр также имеет центр симметрии, совпадающий с его геометрическим центром.
Это следует из его структуры:
- Вершины: Додекаэдр имеет 20 вершин. Они образуют 10 пар диаметрально противоположных вершин.
- Ребра: Додекаэдр имеет 30 ребер, которые образуют 15 пар противоположных ребер.
- Грани: Додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольники). Каждой грани противолежит равная и параллельная ей грань. Всего 6 пар противоположных граней.
Следовательно, додекаэдр центрально-симметричен относительно своего центра. Интересно отметить, что додекаэдр и икосаэдр являются двойственными многогранниками, и их группы симметрий, включая центральную симметрию, совпадают.
Ответ: да, имеет.

5.13 Сколько осей симметрии имеет правильная: а) треугольная призма (рис. 5.16);

б) шестиугольная призма (рис. 5.17)?

Рис. 5.16

Рис. 5.17

а) Правильная треугольная призма имеет следующие оси симметрии:

1. Одна ось, проходящая перпендикулярно основаниям через их центры (центроиды равносторонних треугольников). Поворот вокруг этой оси на $120^{\circ}$ совмещает призму саму с собой. Это 1 ось симметрии.

2. Три оси, лежащие в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит через середину высоты призмы. Каждая из этих осей проходит через середину одного из боковых ребер и середину противоположной ему боковой грани. Поворот на $180^{\circ}$ вокруг любой из этих осей совмещает призму саму с собой. Таких осей 3.

Суммарное количество осей симметрии: $1 + 3 = 4$.

Ответ: 4.

б) Правильная шестиугольная призма имеет следующие оси симметрии:

1. Одна ось, проходящая перпендикулярно основаниям через их центры (центры правильных шестиугольников). Поворот вокруг этой оси на угол, кратный $60^{\circ}$ ($360^{\circ}/6$), совмещает призму саму с собой. Это 1 ось симметрии.

2. Шесть осей, лежащих в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит через середину высоты призмы. Поворот на $180^{\circ}$ вокруг любой из этих осей совмещает призму саму с собой. Эти оси делятся на два типа:

- Три оси, которые проходят через середины противоположных боковых граней.

- Три оси, которые проходят через середины противоположных боковых ребер.

Суммарное количество осей симметрии: $1 + 3 + 3 = 7$.

Ответ: 7.

5.14 Сколько плоскостей симметрии имеет правильная: а) треугольная призма (рис. 5.16); б) шестиугольная призма (рис. 5.17)?

5.15. Сколько в своей симметрии

Рис. 5.16

$A_1$ $C_1$ $B_1$ $A$ $C$ $B$

Рис. 5.17

$E_1$ $D_1$ $C_1$ $F_1$ $A_1$ $B_1$ $F$ $E$ $D$ $C$ $A$ $B$

а) треугольная призма
Чтобы найти количество плоскостей симметрии правильной треугольной призмы, рассмотрим два возможных типа таких плоскостей.
1. Горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость проходит ровно посередине между двумя основаниями призмы, параллельно им. Она делит каждый боковой прямоугольник и каждое боковое ребро пополам. Такая плоскость только одна.
2. Вертикальные плоскости симметрии. Эти плоскости перпендикулярны основаниям призмы. Чтобы такая плоскость была плоскостью симметрии, она должна пересекать основание (правильный треугольник) по его оси симметрии. Правильный треугольник имеет 3 оси симметрии: каждая из них является высотой, медианой и биссектрисой и проходит через вершину и середину противоположной стороны. Каждая из этих трёх осей симметрии основания определяет одну вертикальную плоскость симметрии для всей призмы. Таким образом, у призмы есть 3 вертикальные плоскости симметрии.
Общее количество плоскостей симметрии равно сумме горизонтальных и вертикальных плоскостей: $1 + 3 = 4$.
Ответ: 4.

б) шестиугольная призма
Аналогично, для правильной шестиугольной призмы рассмотрим те же два типа плоскостей симметрии.
1. Горизонтальная плоскость симметрии. Как и в предыдущем случае, эта плоскость одна и проходит параллельно основаниям через середины боковых рёбер.
2. Вертикальные плоскости симметрии. Их количество определяется количеством осей симметрии у правильного шестиугольника, который лежит в основании призмы. Правильный шестиугольник имеет 6 осей симметрии:
- 3 оси проходят через противоположные вершины. Каждая из них определяет плоскость симметрии, которая проходит через два противоположных боковых ребра призмы.
- 3 оси проходят через середины противоположных сторон. Каждая из них определяет плоскость симметрии, которая проходит через середины двух противоположных боковых граней призмы.
Таким образом, у призмы имеется 6 вертикальных плоскостей симметрии.
Общее количество плоскостей симметрии равно: $1 + 6 = 7$.
Ответ: 7.

5.15 Сколько осей симметрии у правильной:

а) четырехугольной пирамиды (рис. 5.18);

б) шестиугольной пирамиды (рис. 5.19)?

Рис. 5.18

Рис. 5.19

Осью симметрии (или осью вращательной симметрии) пространственной фигуры называется прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол $\alpha$, где $0^\circ < \alpha < 360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Необходимо найти количество таких осей для двух видов правильных пирамид.

а) В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. Вершина пирамиды проецируется в центр этого квадрата. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — центр квадрата в основании.

Рассмотрим прямую, проходящую через вершину $S$ и центр основания $O$. Эта прямая является высотой пирамиды и перпендикулярна плоскости основания.Основание-квадрат имеет центр симметрии $O$. При повороте квадрата вокруг оси $SO$ на угол $90^\circ$ (или $180^\circ$, $270^\circ$) он совмещается сам с собой. Вершины квадрата переходят друг в друга (например, при повороте на $90^\circ$ вершина $A$ переходит в $B$, $B$ в $C$, $C$ в $D$ и $D$ в $A$).При таком повороте всей пирамиды вокруг оси $SO$:

• Вершина $S$, лежащая на оси, остается на месте.
• Основание-квадрат совмещается само с собой.
• Так как все боковые ребра правильной пирамиды равны ($SA=SB=SC=SD$) и все боковые грани — равные равнобедренные треугольники, то при повороте боковые ребра и грани также переходят друг в друга.

Следовательно, вся пирамида совмещается сама с собой. Это означает, что прямая, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии. Это ось симметрии 4-го порядка.

Проверим наличие других осей. Любая другая возможная ось симметрии должна была бы проходить через вершину $S$ (иначе вершина при повороте сместится) или лежать в плоскости основания. Если ось лежит в плоскости основания (например, совпадает с диагональю квадрата или линией, соединяющей середины противоположных сторон), то при повороте на $180^\circ$ вершина $S$ перейдет в точку $S'$ симметрично плоскости основания, и пирамида не совместится сама с собой. Если же предположить существование другой оси, проходящей через $S$, то она пересекала бы основание не в центре, и при повороте вокруг нее основание не могло бы совместиться с собой.

Таким образом, у правильной четырехугольной пирамиды существует только одна ось симметрии.

Ответ: 1.

б) В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Вершина пирамиды проецируется в центр этого шестиугольника. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — центр шестиугольника в основании.

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, рассмотрим прямую, проходящую через вершину $S$ и центр основания $O$.Основание — правильный шестиугольник. При повороте вокруг оси $SO$ на угол $60^\circ$ (или кратный ему: $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$) шестиугольник совмещается сам с собой.При повороте всей пирамиды вокруг оси $SO$:

• Вершина $S$ остается неподвижной.
• Основание-шестиугольник совмещается само с собой.
• Боковые ребра и грани, равные между собой в силу того, что пирамида правильная, переходят друг в друга.

Следовательно, прямая, соединяющая вершину и центр основания, является осью симметрии 6-го порядка.

По тем же соображениям, что и в случае с четырехугольной пирамидой, никакая другая прямая не может быть осью симметрии для правильной шестиугольной пирамиды. Любая ось, не проходящая через вершину $S$, сместит ее при повороте. Любая ось, проходящая через $S$, но не через центр основания $O$, не позволит основанию совместиться с самим собой при повороте.

Таким образом, у правильной шестиугольной пирамиды, как и у любой правильной $n$-угольной пирамиды, существует только одна ось симметрии.

Ответ: 1.

5.16 Сколько плоскостей симметрии у правильной:

а) четырехугольной пирамиды (рис. 5.18);

б) шестиугольной пирамиды (рис. 5.19)?

Рис. 5.18

Рис. 5.19

а) Правильная четырехугольная пирамида имеет в основании квадрат, а ее вершина проецируется в центр этого квадрата. Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит геометрическое тело на две зеркально равные части. Любая плоскость симметрии правильной пирамиды должна проходить через ее вершину и содержать ось симметрии ее основания.
Основание пирамиды, квадрат, имеет 4 оси симметрии:
1. Две оси, которые проходят через середины противолежащих сторон.
2. Две оси, которые проходят через противолежащие вершины (диагонали).
Каждая из этих осей симметрии основания вместе с вершиной пирамиды образует плоскость симметрии. Таким образом, у правильной четырехугольной пирамиды есть два типа плоскостей симметрии:
– Две плоскости, проходящие через диагонали основания и вершину пирамиды. Каждая такая плоскость содержит два противоположных боковых ребра.
– Две плоскости, проходящие через средние линии основания (отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон) и вершину пирамиды. Каждая такая плоскость содержит апофемы двух противоположных боковых граней.
Всего получаем $2 + 2 = 4$ плоскости симметрии.
Ответ: 4

б) Правильная шестиугольная пирамида имеет в основании правильный шестиугольник, а ее вершина проецируется в центр этого шестиугольника. Как и в предыдущем случае, плоскости симметрии пирамиды определяются осями симметрии ее основания.
Правильный шестиугольник имеет 6 осей симметрии:
1. Три оси, которые проходят через противолежащие вершины.
2. Три оси, которые проходят через середины противолежащих сторон.
Каждая из этих шести осей симметрии основания вместе с вершиной пирамиды задает плоскость симметрии. Таким образом, у правильной шестиугольной пирамиды есть два типа плоскостей симметрии:
– Три плоскости, проходящие через большие диагонали основания (соединяющие противолежащие вершины) и вершину пирамиды.
– Три плоскости, проходящие через отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон основания, и вершину пирамиды.
Всего получаем $3 + 3 = 6$ плоскостей симметрии.
Ответ: 6

5.17 Сколько осей симметрии у правильной:

а) $n$-угольной призмы;

б) $n$-угольной пирамиды?

а) Правильная n-угольная призма имеет в основаниях два равных правильных n-угольника, а её боковые грани — равные прямоугольники. Оси симметрии такой призмы делятся на два вида:
1. Одна ось, проходящая перпендикулярно основаниям через их центры. Это ось симметрии n-го порядка, так как поворот вокруг неё на угол $ \frac{360^\circ}{n} $ отображает призму на себя.
2. $ n $ осей, лежащих в плоскости, которая параллельна основаниям и проходит посередине между ними. Эти оси являются осями симметрии второго порядка (поворот на $ 180^\circ $). Они проходят через центр призмы и соответствуют осям симметрии основания (правильного n-угольника).
• Если $ n $ — нечётное число, оси соединяют середину бокового ребра и центр противоположной боковой грани.
• Если $ n $ — чётное число, $ n/2 $ осей соединяют центры противоположных боковых граней, а другие $ n/2 $ — середины противоположных боковых рёбер.
В сумме получается $ 1 + n $ осей симметрии.
Ответ: $ n+1 $.

б) Правильная n-угольная пирамида имеет в основании правильный n-угольник, а её вершина проецируется в центр основания.
У такой пирамиды существует только одна ось симметрии. Эта ось проходит через вершину пирамиды и центр её основания. Поворот вокруг этой оси на угол $ \frac{360^\circ}{n} $ совмещает пирамиду саму с собой, поэтому это ось n-го порядка.
Других осей симметрии нет. Любая другая ось должна была бы проходить через центр масс пирамиды (который лежит на первой оси) и быть перпендикулярной ей. Однако поворот на $ 180^\circ $ вокруг такой гипотетической горизонтальной оси переместил бы вершину пирамиды вниз, под основание, где нет точек фигуры, что противоречит определению симметрии.
Ответ: 1.

5.18 Сколько плоскостей симметрии у правильной:

а) $n$-угольной призмы;

б) $n$-угольной пирамиды?

а) n-угольной призмы

Рассмотрим плоскости симметрии правильной $n$-угольной призмы, которая представляет собой прямую призму с правильным $n$-угольником в основании. Такие плоскости бывают двух видов.

1. Вертикальные плоскости симметрии. Они перпендикулярны основаниям и проходят через ось призмы. Каждая такая плоскость определяется осью симметрии правильного $n$-угольника, лежащего в основании. Правильный $n$-угольник имеет ровно $n$ осей симметрии. Если $n$ нечетно, оси соединяют вершину с серединой противолежащей стороны. Если $n$ четно, $n/2$ осей соединяют противоположные вершины и $n/2$ осей соединяют середины противоположных сторон. В обоих случаях общее число осей, а следовательно, и вертикальных плоскостей симметрии, равно $n$.

2. Горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям призмы и делит ее высоту пополам. Такая плоскость всего одна. Эта симметрия существует, так как оба основания призмы являются одинаковыми правильными $n$-угольниками.

Общее количество плоскостей симметрии равно сумме числа вертикальных плоскостей и одной горизонтальной.

Ответ: $n+1$.

б) n-угольной пирамиды

У правильной $n$-угольной пирамиды в основании лежит правильный $n$-угольник, а вершина проецируется в центр этого основания.

Любая плоскость симметрии такой пирамиды обязана проходить через ее вершину и ось (отрезок, соединяющий вершину с центром основания). Это означает, что все плоскости симметрии являются вертикальными, то есть перпендикулярными основанию. Горизонтальной плоскости симметрии у пирамиды нет.

След такой плоскости на основании пирамиды является осью симметрии этого основания. Как известно, правильный $n$-угольник имеет ровно $n$ осей симметрии. Каждая из этих осей вместе с осью пирамиды задает одну плоскость симметрии.

Таким образом, число плоскостей симметрии правильной $n$-угольной пирамиды равно числу осей симметрии ее основания.

Ответ: $n$.

5.19 Сколько осей симметрии имеет:
а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) додекаэдр (рис. 5.22)?

Рис. 5.22

а) Октаэдр — это правильный многогранник, имеющий 8 граней (равносторонние треугольники), 12 ребер и 6 вершин. Оси симметрии (оси вращения) октаэдра можно классифицировать по элементам, через которые они проходят:

1. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. У октаэдра 6 вершин, которые образуют 3 пары противоположных. Поворот вокруг такой оси на $90^\circ$ совмещает октаэдр сам с собой, поэтому это оси 4-го порядка. Таких осей 3.

2. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. У октаэдра 8 граней (треугольники), которые образуют 4 пары противоположных. Поворот вокруг такой оси на $120^\circ$ совмещает октаэдр сам с собой, это оси 3-го порядка. Таких осей 4.

3. Оси, проходящие через середины пар противоположных ребер. У октаэдра 12 ребер, которые образуют 6 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $180^\circ$ совмещает октаэдр сам с собой, это оси 2-го порядка. Таких осей 6.

Суммируя количество осей всех типов, получаем общее количество осей симметрии: $3 + 4 + 6 = 13$.
Ответ: 13 осей симметрии.

б) Икосаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 20 граней (равносторонние треугольники), 30 ребер и 12 вершин. Оси симметрии икосаэдра:

1. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. У икосаэдра 12 вершин, образующих 6 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $72^\circ$ ($360^\circ/5$) совмещает икосаэдр сам с собой, это оси 5-го порядка. Таких осей 6.

2. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. У икосаэдра 20 граней, образующих 10 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $120^\circ$ ($360^\circ/3$) совмещает икосаэдр сам с собой, это оси 3-го порядка. Таких осей 10.

3. Оси, проходящие через середины пар противоположных ребер. У икосаэдра 30 ребер, образующих 15 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $180^\circ$ ($360^\circ/2$) совмещает икосаэдр сам с собой, это оси 2-го порядка. Таких осей 15.

Общее количество осей симметрии равно: $6 + 10 + 15 = 31$.
Ответ: 31 ось симметрии.

в) Додекаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 12 граней (правильные пятиугольники), 30 ребер и 20 вершин. Додекаэдр является двойственным многогранником к икосаэдру, поэтому он имеет ту же группу вращательных симметрий и, следовательно, то же количество осей симметрии. Оси симметрии додекаэдра:

1. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. У додекаэдра 12 граней (пятиугольники), образующих 6 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $72^\circ$ ($360^\circ/5$) совмещает додекаэдр сам с собой, это оси 5-го порядка. Таких осей 6.

2. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. У додекаэдра 20 вершин, образующих 10 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $120^\circ$ ($360^\circ/3$) совмещает додекаэдр сам с собой, это оси 3-го порядка. Таких осей 10.

3. Оси, проходящие через середины пар противоположных ребер. У додекаэдра 30 ребер, образующих 15 пар противоположных. Поворот вокруг такой оси на $180^\circ$ ($360^\circ/2$) совмещает додекаэдр сам с собой, это оси 2-го порядка. Таких осей 15.

Общее количество осей симметрии равно: $6 + 10 + 15 = 31$.
Ответ: 31 ось симметрии.

5.20 Сколько плоскостей симметрии имеет:

а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) додекаэдр (рис. 5.22)?

Рис. 5.22

а) октаэдр

Правильный октаэдр — это один из пяти платоновых тел, многогранник с 8 гранями (правильные треугольники), 12 ребрами и 6 вершинами. Октаэдр является двойственным к кубу, поэтому он имеет ту же группу симметрии и, следовательно, то же количество плоскостей симметрии, что и куб.
Плоскости симметрии октаэдра можно разделить на два типа:

1. Плоскости, проходящие через центр октаэдра и четыре его вершины. Эти вершины образуют в сечении квадрат. Таких плоскостей 3. Если поместить октаэдр в центр системы координат так, чтобы его вершины находились на осях в точках $(\pm a, 0, 0)$, $(0, \pm a, 0)$, $(0, 0, \pm a)$, то эти плоскости будут совпадать с координатными плоскостями ($xy, yz, xz$).

2. Плоскости, проходящие через пару противоположных вершин и через середины двух противоположных ребер «экваториального» квадрата. Для каждой пары противоположных вершин (например, на оси $z$) существует две такие плоскости, которые пересекают экваториальную плоскость ($xy$) по диагоналям. Всего таких плоскостей $3 \times 2 = 6$.

Суммарное количество плоскостей симметрии октаэдра равно $3 + 6 = 9$.

Ответ: 9.

б) икосаэдр

Правильный икосаэдр — платоново тело с 20 гранями (правильные треугольники), 30 ребрами и 12 вершинами. Все плоскости симметрии правильного многогранника проходят через его центр.

Чтобы подсчитать количество плоскостей симметрии, можно найти геометрические элементы, каждому из которых соответствует одна такая плоскость. Для икосаэдра такими элементами являются пары противоположных ребер.

Икосаэдр имеет 30 ребер. Эти ребра можно сгруппировать в 15 пар противоположных (параллельных) ребер. Каждая такая пара ребер лежит в одной плоскости, проходящей через центр икосаэдра. Эта плоскость является плоскостью симметрии, так как отражение относительно нее переводит многогранник в себя. Сечение икосаэдра такой плоскостью имеет форму прямоугольника.

Поскольку существует 15 пар противоположных ребер, икосаэдр имеет 15 плоскостей симметрии.

Ответ: 15.

в) додекаэдр

Правильный додекаэдр — платоново тело с 12 гранями (правильные пятиугольники), 30 ребрами и 20 вершинами. Додекаэдр является двойственным к икосаэдру, а это значит, что они имеют одинаковую группу симметрии ($I_h$) и одинаковое число элементов симметрии.

Следовательно, додекаэдр имеет столько же плоскостей симметрии, сколько и икосаэдр.

Как и в случае с икосаэдром, у додекаэдра 30 ребер, которые образуют 15 пар противоположных ребер. Каждая пара противоположных ребер определяет уникальную плоскость симметрии, проходящую через них и центр додекаэдра. Сечение додекаэдра такой плоскостью представляет собой правильный шестиугольник.

Таким образом, додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии.

Ответ: 15.

5.21. Может ли центр симметрии пространственной фигуры не принадлежать ей? Приведите примеры.

Да, центр симметрии пространственной фигуры может не принадлежать самой фигуре. Это следует непосредственно из определения центральной симметрии.

Точка $O$ называется центром симметрии фигуры $F$, если для любой точки $P$, принадлежащей фигуре $F$ ($P \in F$), симметричная ей относительно $O$ точка $P'$ также принадлежит фигуре $F$ ($P' \in F$). Симметричная точка $P'$ определяется векторным равенством $\vec{OP'} = -\vec{OP}$.

Это определение накладывает требование только на те точки, которые уже являются частью фигуры. Оно не обязывает сам центр симметрии $O$ принадлежать фигуре $F$. Если $O \notin F$, это не создает никакого противоречия с определением. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Фигура из двух различных точек. Пусть фигура $F$ состоит всего из двух различных точек $A$ и $B$. Центром симметрии для этой фигуры будет точка $O$ — середина отрезка $AB$. Точка $A$ симметрична точке $B$ относительно $O$, и наоборот. Однако сама точка $O$ не является частью фигуры $F$, так как $F = \{A, B\}$, а $O$ — это отдельная точка, не совпадающая ни с $A$, ни с $B$.

Пример 2: Сферическая поверхность. Сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R > 0$ — это множество всех точек пространства, находящихся на расстоянии $R$ от точки $O$. Точка $O$ является ее центром симметрии, поскольку для любой точки $P$ на сфере противоположная ей точка $P'$, полученная отражением через центр, также находится на этой же сфере. Но сам центр $O$ не принадлежит поверхности сферы, так как расстояние от точки $O$ до самой себя равно 0, а не $R$.

Пример 3: Шаровой слой (полый шар). Эта фигура представляет собой множество точек, расположенных между двумя концентрическими сферами с радиусами $r$ и $R$, где $0 < r < R$. Общий центр этих сфер, точка $O$, служит центром симметрии для всего слоя. Однако точка $O$ находится в пустом пространстве внутри меньшей сферы и, следовательно, не принадлежит фигуре.

Пример 4: Две параллельные плоскости. Рассмотрим фигуру, состоящую из точек двух различных параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Любая точка $O$, расположенная на плоскости, которая параллельна $\alpha$ и $\beta$ и равноудалена от них, является центром симметрии. При этом очевидно, что точка $O$ не лежит ни на одной из исходных плоскостей и, значит, не принадлежит фигуре.

Ответ: Да, может. Примерами таких фигур являются: фигура из двух различных точек, сферическая поверхность, шаровой слой, фигура из двух параллельных плоскостей.